Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
задачи с многими гармоническими компонентами, близкими по частоте,
разберем случай двух частот, используя метод векторных диаграмм (см. том
1,стр. 125). Гармоническое колебание
является вещественной частью комплексного гармонического колебания
Здесь индекс "к" показывает, что функция комплексная. Графически (0 можно
представить на комплексной плоскости вектором длиной А, вращающимся
против часовой стрелки с угловой частотой (c)• (Проекция этого вектора на
горизонтальную ось (т. е. ось вещественных значений) дает гармоническую
функцию (34).] Будем
9 Ф- Крауфорд 257
ф (/) = A cos ot
(34)
^{t) = Аеш.
(35)
делать мгновенные стробоскопические "снимки" этого вектора. Если частота
стробоскопа совпадает с частотой вращения вектора, то на каждом
мгновенном снимке вектор будет в одной и той же позиции (рис. 6.2, а).
Если угловая частота вращения вектора со чуть-чуть больше частоты
стробоскопа сос, то на последовательности снимков вектор будет вращаться
вперед (против часовой стрелки) с угловой частотой со - сос (рис. 6.2,
б). Если со - сос <0, мы увидим
Рис. 6.2. Стробоскопические моментальные "снимки" вращающегося
комплексного вектора
ехр ко/.З
Назначение спиралей - помочь сосчитать число оборотов вектора. Интервал
времени между
"снимками" Гс = 2л/о>с.
вектор вращающимся по часовой стрелке (рис. 6.2, в). Индекс "с" указывает
на принадлежность данной величины (со или Т) к стробоскопу.
Теперь рассмотрим суперпозицию двух гармонических волн с одинаковой
амплитудой, но немного разными частотами:
Таким образом (считаем, что со2- сох>0), со2- соср>0 и сох - -соср<0.
Напомним, что г|з (t) может быть записано [уравнение (2), п. 6.2)] как
произведение медленно меняющейся амплитуды А (t) на быстрые колебания,
происходящие с частотой соср. Так как частота
258
(ш-ше)Тс=0
(ы-0)с)Тс=Я/8
(со-ш^-Я/8
г|) (t) = A cos сох? + A cos со2Е Пусть частота стробоскопа равна
(36)
(37)
стробоскопа равна соср, то мы не увидим быстрых колебаний, а увидим
только изменение А (t). В результате получим серию мгновенных "снимков",
показанных на рис. 6.3.
t=o
ф=1А
i=(1/2)Tg *5 =О
Рис 6 3. Биение в суперпозиции а|(/)=Л expi'coi?1-A exp io)2t
Стробоскопические "снимки" производятся с частотой о:)с = а)Ср 11
покрывают целый период биении Тg В этом примере частота биении равна V4
среднеп частоты1 со2 - со^ = 4/40)с^
Образование импульса. Теперь рассмотрим случай, когда волновая функция ф
(/) является суперпозицией очень большого числа колебаштапавной амплитуды
А, с нулевыми начальными фазами и частотами, коуорые равномерно
распределены в диапазоне от до со2. Соответствующая стробоскопическая
векторная диаграмма показана на риф. 6.4.
,, и. Аш
V/F7
^ w -Jml ,-23L CP Am фъ-А
?ис. 6 4. Стробоскопические "снимки> колебании (V = 9), равномерно
распределенных в интервале частот Дсо - со2-
Стробоскопическая частота равна со^ Вектор колебании а> -0)^ кажется
неподвижным.
В момент t=0 полная амплитуда A (t) суперпозиции ф (f) равна NA. Через
время t, немного меньшее, чем время 2л/Дсо (равное периоду биений между
крайними частотами и со2), полная амплитуда А (t) равна нулю, так как
векторы, соответствующие разным частотам, равномерно распределены по
окружности. (Когда N-*- оо, этот первый нуль в A (t) возникает точно при
t=2л/Дсо.) В течение долгого времени после ^=2я/Дсо векторы будут иметь
все еще достаточно широкое распределение по фазе (однако уже не
совершенно равномерное), так что в сумме дадут небольшое значение A (t).
Векторы снова окажутся в фазе и амплитуда А (t) снова достигнет
максимума, равного N А, лишь когда биения между соседними по частоте
колебаниями опять достигнут максимума. Так как соседние колебания
отличаются по частоте на Дсо/(N - 1), то период биений между ними равен
произведению (М - 1) на период биений, соответствую-
щий разности крайних частот. Если N-*- оо, то общая амплитуда остается
малой практически "навсегда", никогда не возвращаясь к начальному
значению. В этом случае мы имеем то, что называют импульсом, т. е.
функцию времени, которая отлична от нуля только в течение ограниченного
интервала времени.
Длительность импульса. Обозначим длительность импульса, т. е. интервал
времени, в течение которого функция ф (t) "достаточно велика", через At.
Этот интервал простирается от момента t=О, когда все компоненты между coj
и со2 находятся в фазе, до момента ti, когда все компоненты равномерно
распределены по фазе (по кругу в комплексной плоскости), т. е.
At " tlt (38)
где
(со2-со1)/1 = 2я. (30:
Имеем
ДсоА^^2я, (40)
или
Av At я* 1.
(41)
Соотношение (41) является частным случаем общего и очень важного
соотношения между продолжительностью At импульса ф(0 и полосой в
частотном спектре гармонических компонент, суперпозиция которых образует
импульс. Оно имеет необычайно широкое применение во всех областях физики,
независимо от того, будет ли явление, протекающее в виде импульса,
функцией времени или какой-либо другой переменной. Соотношение (41) не
