Соханистические процессы в физика и химии - Кампен Ван Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
¦34614.2. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим линейное уравнение вида
и = Л (Z)w = {Л0 + аЛх(/)}«, (14.2.1)
где и—вектор, A0— постоянная матрица, Л х (Z)—случайная матрица, а—параметр, измеряющий значение флуктуаций в коэффициентах. Далее будем считать, что Ax(t) обладает конечным временем автокорреляции тс, если для любых двух моментов времени Z1, Z2, связанных между собой соотношением IZ1-t.,\':>xc, все матричные элементы Л j (Z1) можно рассматривать как стохастически не зависящие от соответствующих Л j (Z2). Величина атс является числом Кибо, введенным (13.4.11), и опять считается малой. В результате мы получим приближенное решение уравнения (14.2.1) в виде разложения в ряд по степеням параметра ахс. Соответствующий вывод будет проделан в следующем параграфе. В настоящем разделе мы используем более простой метод, который, однако, проще в обращении и который можно применять и к более сложным случаям *. ^Удобно, хотя, строго говоря, в этом и нет необходимости, предположить, что ^1(Z) является стационарным матричным процессом. Тогда c4,(Z)> не зависит от времени и его можно включить в A0, положив
А'0 = А0 + а<А1(ф, ал; (Z) = а [A1 (t) — <Al (*)>}. (14.2.2)
так что <Л;(ф = 0. Предположим, что это проделано, и в дальнейшем штрихи будем опускать. Получающееся в результате разложение по а относится только к а, стоящему перед Л'(Z). Таким образом, мы рассмотрим (14.2.1) только в том случае, когда ^1(Z)) = 0.
Переходя в представление взаимодействия, исключим A0:
u(t) = efA«v(t), (14.2.3а)
v = ae-tA»A1(t)etA»v^aV(t)v. (14.2.36)
Решение с точностью до второго порядка по V (0) = и (0) = а имеет вид t t t, u(Z) = a+aSdZ1F(Z1)a + a2S At1 J At2V (Z1) V(Z2)0+ ¦ (14.2.4)
О 0 0
Теперь возьмем среднее с фиксированным а.
t и
<u(Z)>=a + a2 J dZj J dZ2 <V (Z1) V (t2)> a. (14.2.5) ___ о о
* В частности, в квантовой механике, см.: A. G. Pedfield', IBM J. Research Devel. 1, 19 (1957), Advances in Magnetic Resonance 1 (J. S. Waughed., Acad. Press, New York, 1965); C. P. Slichter, PrinciplesofMagneticResonancefHarper and Row, New York, 1963).
¦347Приближение второго порядка можно использовать до тех пор, пока члены более высоких порядков малы. Поскольку каждый последний член включает на одно интегрирование по времени больше, это ограничение равносильно at 1. С другой стороны, мы хотим использовать его на временах, значительно превосходящих ахе\ следовательно, мы должны предположить атс<<; 1. Тогда для t<^a~x находим
t
<v (Z)) = а + а2 5 At1 5 dx <V (Z1) V (Z1 — т)> а. о о
Когда Z1 > тс, верхний предел интегрирования Z1 в интеграле по % можно заменить на оо, поскольку в любом случае подынтегральная функция в этой области обращается в нуль. Хотя Z1 пробегает значения от 0 до Z, в большей части интервала Z1 > тс. Тогда даш 1V^ Z^a"1 приближенно имеем
t 00
<v (Z)) = а + a2 J dZx J dt <V (Z1) V (Z1-т)>е. о о
Это выражение, однако, также является решением с точностью до порядка а2 линейного дифференциального уравнения
а, <1> (z)> = Ct2
S <V(t) V(Z-T)) dT
Cu(Z)). (14.2:.6)
Таким образом, приходим к выводу, что это уравнение описывает эволюцию величины <u(Z)>. В первоначальном представлении его можно записать в виде
dt <u(t):
A0 +а2 5 <А\(Z) етД°Л! (Z — т)> е~хЛ" dt о
<ы (Z)). (14.2.7)
Следует помнить, однако, что наш вывод справедлив только в течение времени AZа-1 после начального момента времени Z0 = O. Начальный момент времени выделен потому, что в это время значение и было равно нестохастическому вектору а. Легко видеть, что результат равным образом справедлив и тогда, когда начальное значение стохастично при условии, что оно статистически не зависит от A1. Этот факт позволяет нам применить то же самое уравнение (14.2.7) и для следующего интервала AZ, потому что значения A1 в следующем интервале не скоррелированы со значениями в предыдущем интервале в силу малости тг. Даже если допустить, что имеется некоторое перекрытие на границе между этими интервалами, это может привести лишь к небольшой ошибке, поскольку такое перекрытие не может превышать величину порядка хс, что составляет лишь малую часть полного интервала At. Тогда (14.2.7) приближенно справедливо при всех временах при условии, что
¦348атс<^1. Таким образом, среднее u{t) само подчиняется нестохастическому дифференциальному уравнению (14.2.7).
Предположим теперь, ЧТО не ТОЛЬКО GtTf^l, но и
Tc I Д0 К 1. (14.2.8)
Это дополнительное условие означает, что свободное • движение и является медленным по сравнению с флуктуациями в A1. Тогда (14.2.7) сводится к
dt<u(t)> =
A0 + a? J (.A1U) A1 (t — T)>dT
<и(0>. (14.2.9)
Поскольку A1 предполагается стационарным, интеграл не зависит от времени. Следовательно, воздействие флуктуаций сводится к перенормировке A0 путем добавления к нему постоянного члена порядка а2. Добавочный член представляет собой проинтегрированную ,корреляционную функцию процесса A1. В частности, если имеется ,'бездиссипативная система, описывающаяся величиной A0, этот добавочный член, обусловленный флуктуациями. обычно является дис-сипативным. Эта связь диссипации и автокорреляционной функции флуктуаций является аналогом соотношения Грина — Кубо в многочастичных системах *, но не идентично ему, потому что там флуктуации являются внутренними, а не добавляются в виде отдельного члена, как в (14.2.1).