Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что теория, развитая в настоящем параграфе, может быть применена не только в предположении, что параметр t играет роль времени. С этой целью рассмотрим дополнительный пример.
Пример. В пространстве разбросаны точки с соблюдением следующих требований:
1) вероятность к точкам оказаться в области G зависит только от объема v этой области, но не зависит ни от ее формы, ни от ее положения в пространстве; эту вероятность обозначим рк (?);
2) числа точек, попавших в неперекрывающиеся области, являются независимыми случайными величинами;
3) 2 pk(Av) = o(Av). к = 2
300
Гл. 10. Теория стохастических процессов
Наложенные условия являются ничем иным, как условиями стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Отсюда
Pk(v)
Если в жидкости взвешены мельчайшие частицы какого-либо вещества, то под влиянием ударов окружающих молекул эти частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (броуновское движение). В результате в каждый момент времени мы имеем случайное распределение частиц в пространстве, о чем только что была речь. Согласно теории настоящего примера следует считать, что распределение частиц, попадающих в некоторую определенную область, будет подчинено закону Пуассона.
В таблице 14 сравниваются результаты опыта с частицами золота, взвешенными в воде, заимствованные нами из статьи Смолуховского, и результаты вычислений по закону Пуассона.
Таблица 14
Число частиц Число наблюдав Частота , л -X Вычисленное
шихся случаев т Л е число случаев
п\
0 112 0,216 0.213 110
1 168 0,325 0.328 173
2 130 0,251 0,253 131
3 69 0,133 0,130 67
4 32 0,062 0,050 26
5 5 0,010 0,016 8
6 1 0,002 0,004 2
7 1 0,002 0,001 1
Постоянное Л = av, которым определяется закон Пуассона, выбрано равным среднему арифметическому из наблюдавшегося числа частиц, т.е.
0.112 + 1.168 +2.130 + 3.69 +4.32 + 5.5 + 6.1 +7.1
Л ~------------------------------------------------------~ 1,54.
518
§51. Процессы гибели и размножения
В начале текущего столетия в связи с задачами биологии и телефонной связи возникла простая, но весьма полезная схема, получившая наименование процессов гибели и размножения. В качестве весьма частного случая
§51. Процессы гибели и размножения
301
она включает в себя задачу предшествующего параграфа о процессе Пуассона. Несмотря на узость исходных предположений процессов гибели и размножения, они находят широкое применение в ряде прикладных задач, позволяя получить не только схематическое представление о происходящих изменениях системы, но и расчетные формулы.
Представим себе, что интересующая нас система может находиться в одном нз состояний Е0, Е\, Е2, . - ., множество которых конечно или счетно. Со временем состояния системы изменяются, причем за промежуток длительности h система из состояния Еп переходит в состояние Еп+Х с вероятностью \nh + о(К) и в состояние Еп_х с вероятностью vnh + o(ti). Вероятности того, что за промежуток (t, t + И) система перейдет в состояние Еп±к с к > 1, бесконечно малы по сравнению с h. Отсюда следует, что вероятность остаться в том же состоянии Еп за промежуток времени h равна 1 — \nh — vnh + o(Ji). Постоянные Л„ и цп мы предполагаем зависящими от п, но не зависящими от t и от того, каким путем система пришла в это состояние. Последнее обстоятельство означает, что рассматриваемый процесс является марковским. Теория, которая будет здесь изложена, может быть распространена и на тот случай, когда Л„ и vn зависят так же и от t.
Случайный процесс, о котором только что шла речь, носит название процесса гибели и размножения. Если под Еп понимать событие, состоящее в том, что численность популяции равна п, то переход^ ~+Еп+1 означает, что численность популяции увеличивается на единицу. Точно так же на переход Еп -> Еп j следует смотреть как на гибель одного члена популяции.
Если при любом п > 1 имеют место равенство и„ = 0, т.е. если возможны только переходы Е„ ^ Еп или Еп ^ Еп +1 в момент изменения состояния, то процесс называется процессом размножения (иногда говорят о процессе чистого размножения; именно таким является процесс Пуассона). Если же все Л„ = 0, то говорят, что имеет место процесс гибели.
Обозначим через pk(t) вероятность того, что изучаемая нами система в момент t находится в состоянии Ек. Рассуждениями, подобными тем, которые мы провели в предыдущем параграфе, мы придем к системе уравнений, управляющей процессом гибели и размножения
Po(t) = -\>p0(t) + v1pl(t) (1)
и при к > 1
Рк(0 = - Q<k + vk)pk(t) + Xk_1pk_l(t) + vk+iPk* i(0- (2)
