Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
За смену в магазин приходит случайное число покупателей и сумма, на которую каждый из них делает покупки, также случайна. Выручка магазина за смену является суммой случайного числа случайных слагаемых. Заметим, что число покупателей и суммы, которые они оставляют в магазине, представляют собой независимые случайные величины.
Возвратимся к задаче, рассмотренной в § 38. Там речь шла о длительности безотказной работы дублированной системы с восстановлением. Внимательно разберемся в структуре величины f — длительности безотказной работы резервированной системы. Заметим, что ? в зависимости от случая может принимать различные значения, а именно:
? = ? 1 + 1г ~ сумма времен безотказной работы основного и резервного элементов, если Vi > ?2 (восстановление основного элемента продолжалось дольше, чем проработал резервный элемент);
К + кг + ?з> если ^ < |2. но Лг > ?з > т-е- восстановленный основной элемент проработал меньше, чем длился ремонт резервного элемента;
вообще при п > 2 будет f = % х + + + %п с вероятностью ап~2 (1—а)
(первые п — 2 раз элемент восстанавливался прежде, чем работающий элемент отказывал, в последний же раз ремонт занял больше времени, чем проработал вступивший в работу элемент).
Мы вновь видим, что длительность безотказной работы дублированной системы с восстановлением представляет собой сумму независимых случайных величин в случайном числе. Число слагаемых не зависит от значений, принимаемых слагаемыми и распределено по геометрическому закону.
Теорема о сходимости к показательному распределению после только что сделанного замечания должна нами восприниматься как предельная теорема о сходимости функции распределения последовательных сумм случайного числа случайных слагаемых. Вот какую формулировку ей следует придать.
Т е о р е м а. Пусть случайные величины последовательности {?„} независимы, одинаково распределены с функцией распределения F (jc)
284
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
и математическим ожиданием а > 0. Пусть, далее, - последовательность целочисленных случайных величин, причем vn имеет геометри-
fc_|
ческое распределение с параметром а„: Р{у„ = Л} = ( 1 — а„ ) а„ . Если а„ -> 1, то функции распределения сумм
in ~ X 1 + Хг + ¦ ¦ ¦ + %vn
сходятся к показательному распределению.
Рассмотрим следующую задачу: счетчик Гейгера (см. задачу 4, § 8) начинает свою работу в момент времени 0. Найти время его работы до первого пропуска частицы. Мы сейчас несколько обобщим условия задачи по сравнению с тем как она была поставлена в гл. 1. Предположим, что промежутки времени Хк между поступлениями последовательных частиц в счетчик независимы и имеют распределение F (х). Длительность разряда, вызываемого зарегистрированной частицей является случайной величиной r\k с распределением G(x). Все рассматриваемые и только что упомянутые величины независимы между собой.
Обозначим через длительность искомого промежутка времени. Легко подсчитать, что fn = %, + Хг + ... + ?„ , где v — случайная величина, независимая от Хк и распределенная геометрически.
Рассмотрим теперь последовательность независимых и одинаково
распределенных при каждом п случайных величин. Введем обозначения
F„(x) = Р{?ик < х}, fn(t) = / eitxdFn (jc),
Рассмотрим далее неограниченно возрастающую последовательность целых положительных чисел {кп} и последовательность {vп } целочисленных положительных случайных величин, которые обладают тем свойством, что при каждом п величины v „ независимы от Хпк, 1 < к < °о.
Наша цель состоит в выяснении условий, при которых сходимость функций распределения сумм (при п ->оо)
кп
^ Хп к
к = 1
влечет за собой сходимость функций распределения сумм (я->оо)
S 48. Суммирование в случайном числе 285
Предложение, которое сейчас будет доказано, носит название теоремы переноса.
Теорема переноса. Если при п -*¦<»
кп
A) Р { 2 %пк < х } -> Ф(х)
к = 1
U
I Vn ]
Б) Р------< х | -> А(х)
\кп I
(,причем будем считать, что А(+ 0) = 0.), то
vn
B) р{ 2 ъпк < X } -> Ф(х).
к = 1
Функция распределения Ч'(х) определяется через свою характеристическую функцию ф(г) посредством формулы
ф(1) = J S(t) A(z),
о
где (t) — характеристическая функция для Ф (х).
vn
Доказательство. Характеристическая функция суммы 2 ? кп
к = 1
равна
<ЫО = 2
j = О
где pnJ = P{vn = /}.
Положим А„(х) = Р{г'„<*}; тогда очевидно, что
<Ы О = I fn(t)dAn(x).
О
Пусть теперь
286
Гл. 9. Теория безгранично делимых законов
тогда
