Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
виде
а0 = сГг = 1ГГ' "1 = 1ГГ а = 1.' 2, 3). (20.20)
Отсюда ясно, что величины и0, и1, Ф, й3 преобразуются, как дифференциалы
координат х0, xt, х2, хв, т. е. как контравариантный вектор. То, что этот
вектор временно-подобен, вытекает из тождества
(й0)2 - (й1)2 - (й2)2 - (й3)2 = с2. (20.21)
Примером пространственно-подобного вектора может служить четырехмерный
вектор ускорения, составляющие которого определяются по формулам
"0 = ~; w* = ^ (i = 1,2, 3), (20.22)
пли подробнее:
С2
< = - J -4(" 1 -d-~) (t= 1. 2, 3).
/У '-5
(20.23)
Пространственный характер вектора те может быть доказан следующим
образом. Дифференцируя тождество (20.21) по времени (или но т) получаем
м°те0 - гДте1 - й2те2 - й(r)те3 0 (20.24)
или
сте° - ¦ц1'ш1 - v2w'2 - vsw* = 0. (20.25)
Отсюда вытекает неравенство
(w°f < ^ ((w1)2 -f-(те/2)2 (да3)2) < (•о>1)г-|-(т02)а-}-(т08)2,
(20.26)
которое и доказывает наше утверждение о пространственном характере
вектора то.
§ 21. Четырехмерные тензоры
Подобно трехмерному случаю, в четырехмерном многообразии пространства и
времени могут быть определены тензоры второго и высшего ранга.
86
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. II
Ковариантным тензором второго ранга называется совокупность величин Tik,
которые при преобразовании Лоренца преобразуются по закону
Аналогично, контравариантным тензором второго ранга будет совокупность
величин, преобразующихся по закон}'
Наконец, можно определить смешанный тензор второго ранга, кова-риантпый
по отношению к одному значку и контравариантный по отношению к другому.
Его составляющие преобразуются по закону
Если бы все числа ei были друг другу равны, то коэффициенты в формулах
(21.02), (21.04), (21.06) совпадали бы. В нашем же случае некоторые из
этих коэффициентов отличаются друг от друга знаком.
Формулы преобразования (21.02), (21.04), (21.06) не являются существенно
различными, и от величин, преобразующихся по одной из этих формул, можно
перейти к величинам, преобразующимся по какой-нибудь другой из них. Для
этого достаточно положить
(21.01)
или
J. z = o
ij M 1 jl •
(21.02)
j, 1-0
(21.03)
или
(21.04)
(21.05)
или
(21.06)
(21.07)
§ 21] ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ 87
Если тензор Tik симметричен, то величины (21.08) и (21.09) будут
совпадать. Как и в случае вектора, мы будем говорить не о разных
тензорах, а о ковариантных, контравариантных и смешанных составляющих
одного и того же тензора.
Аналогично можно ввести тензоры третьего и высшего рангов. Так, например,
тензор третьего ранга с тремя ковариантными значками преобразуется по
закону
з
-г! ___dxj дх/ дх_ го 1 1 Лч
Тшп~ Ух'^д7 ^ы (21Л0)
j, 1,п = 0ОХ< к 0 (tm)
или
3
Tifcm - S (21.11)
7, " = О
Как и в трехмерном случае, из составляющих тензора второго ранга можно
образовать скаляр
(21.12)
i = О
а из составляющих тензора третьего ранга - три вектора:
Ai='^iekTikk\ Bt= ^ekTkik, (21.13)
к к к
На затронутом в конце § 19 вопросе о не-тензорных величинах с простейшими
(в известном смысле) законами преобразования мы здесь останавливаться не
будем ввиду того, что в основных не-квантовых применениях теории
относительности главную роль играют тензоры.
Если даны два тензора, то из них можно построить новые тензоры, ранг
которых равен сумме или разности рангов данных тензоров (а также тензоры
промежуточных рангов одной четности с суммой или разностью). Поясним это
на примерах. В § 20 мы видели, что из двух векторов Ai и Вt можно
составить скаляр
с = 2мд- (-21Л4>
1 = 0
Здесь векторы рассматриваются как тензоры первого ранга, а скаляр- как
тензор нулевого ранга. С другой стороны, из тех же векторов можно
составить тензор второго ранга
С1к = А{Вк или же Cik = BtAk. (21.15)
Если дан тензор второго ранга Tik и вектор Ait то величина
Bi = ^ekAkTik (21.16)
к
будет вектором, а величина
Ст = А^ы (21.17)
88
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
{ГЛ. II
[и другие, отличающиеся от (21.17) перестановкой значков в правой части]
будет тензором третьего ранга.
В качестве дальнейшего примера составим из двух заданных тензоров второго
ранга Tik и Uik скаляр
з
С= 2 (21-18)
/, к=О
тензор второго ранга
С0с = 2 ет T'im^km (21.19)
т
и тензор четвертого ранга
Стт-Т^и^т- (21.20)
В этом случае, очевидно, будет
С (к - S irrikm' (21 '21)
т
С=^е А,- (21.22)
Тензорный характер всех этих величин легко проверяется на основании
равенств (10.04) и (10.05), выражающих свойства коэффициентов
преобразования Лоренца.
Заметим, что во всех суммах, содержащих произведения кова-риантных
составляющих тензоров, эти произведения входят умноженными на добавочный
(знаковый) множитель ег, ек, . . ., где i, к, ...- значки суммирования.
Но можно писать суммы так, чтобы значок суммирования входил в
составляющую одного из тензоров в качестве ковариантного (нижнего) значка,
а в умножаемую на нее составляющую другого тензора - в
качестве контравариантного (верхнего)
значка; тогда добавочный знаковый множитель входить не будет. Так,
