Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
написать
Переходя от составляющих к векторам, заменяя аод его значением и
группируя члены в несколько ином порядке, получим окончательно
Для сравнения приведем здесь формулы преобразования для кова-риантного
четырехмерного вектора, причем будем применять для его пространственных
составляющих обычные векторные обозначения:
Это значит, что та часть электрического или магнитного поля, которая
параллельна скорости V, остается без изменения. В пространственной части
четырехмерного вектора, напротив, остается без изменения та часть,
которая перпендикулярна скорости V', так как мы имеем
Fю - "ооF10 - ("оо О \Fю+ VoF20-\- V.aF:i0) +
+ {"oo(V,2-?3l) (24.35)
E[ = aggEx - (Ooo - l) (V ¦ E) + [V X H]"
(24.36)
Fit - "оо^-i - (йоо - 1) (V - H) ~ [V X E]t.
(24.39)
По поводу формул для поля заметим, что
Е' • V = Е ¦ V; Н' • V = Н V. (24,41)
А' --(V • А') = А
(V • А).
(24.42)
100
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[ГЛ. и
Если рассматривать частное преобразование Лоренца и положить
Vj,= V\ Va = V, = 0, (24.43)
го формулы преобразования для поля упростятся и напишутся в виде:
Е* = Е"\ Н'х = ЯЕ,
Е
ЛУ
'{ЕУ с И*)' Ну ~ /-------------------------------------------------------
----+ с Е*)'
/ \/2
У 1 У • С2
Е'-=7=77[Е'+т "•)' "¦ = "rfrE ^•
V 1 сЗ 1 с2
Из составляющих поля можно построить две комбинации, которые при
преобразовании Лоренца остаются без изменения. Мы имеем
Е/2 - Н/2 = Е2 - Н-; (24.45)
Е' • Н' = Е • Н. (24.46)
Первая из этих величин остается без изменения также и при несобственных
преобразованиях Лоренца (см. § 22) и является скаляром.
Вторая же меняет при несобственных преобразованиях свой
знак и является псевдо-скаляром. В этом легко убедиться при помощи
тензорной символики. Мы имеем
8
Es-Ha = { Jf/"; (24.47)
г, к-0
И
Е •н=т 2 (24-48)
i. к~ 0
*
где Fik - антисимметричный исевдо-тензор, связанный с тензором поля по
формуле, аналогичной (22.06) или (22.07).
Заметим, что для плоской волны оба выражения (24.45) и (24.46) обращаются
в нуль (в любой системе отсчета).
Формулы преобразования для поля, как и уравнения Максвелла, указывают на
существование самой тесной связи между электрическим полем и магнитным.
Так, поле от зарядов, неподвижных в некоторой системе отсчета, будет в
этой системе чисто электростатическим; но в другой системе отсчета,
которая относительно этих зарядов движется, к электрическому полю
добавится еще магнитное. Это становится понятным, если вспомнить, что
движущиеся заряды представляют электрический ток. Подобно этому, поле,
чисто магнитное в одной системе отсчета, будет в другой системе
проявляться, как наложение магнитного и электрического полей.
§ 25] ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ точки 1U1
§ 25. Движение заряженной материальной точки в заданном внешнем поле
Рассмотрим движение частицы с массой /га и зарядом е в заданном внешнем
поле. Как мы видели ранее [формула (20.23)] четы-рсх.мерный вектор
ускорения имеет составляющие
die dt \
wJ
и2 i
d I 1 dxA ^ (25'01)
/'-ГУ-?
Здесь под знаком производных по времени стоят составляющие четырехмерной
скорости
и° = ; а* = -r== 4г V = 1 ¦ 2' 3>' (25-
02>
причем
Введем такую (штрихованную) систему отсчета, в которой мгновенная
скорость частицы равна нулю. Мы будем исходить из предположения, что в
этой сопутствующей системе отсчета обычное ускорение пропорционально
электрическому полю
drx, е ,
-± = -Еи (25.04)
dt'* т.
н перейдем затем обратно к исходной системе отсчета.
В штрихованной системе отсчета четырехмерные скорость и ускорение равны
и/0 = с, и'1 = и'2 = и'3 - 0; (25.05)
та/,0 = 0, та/* = ^4. (25.06)
dt'2
Таким образом, в штрихованной системе четырехмерное ускорение выражается
через поле следующим образом:
да,0=0, че'* = ^Е\. (25.07)
По формулам преобразования контравариантного вектора (совпадающим с
формулами преобразования координат) мы имеем
з
та"*'
¦2 ekakiw'k- (25.08)
к = 0
102
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. II
Подставляя н правую часть значения (25.07) для wn, получим для
четырехмерного ускорения в исходной системе отсчета выражения
Сюда нужно подставить значения aik из (24.32). Мы получим
Теперь остается выразить Е' через Е и Н. Так как V • Е' - V • Е, формула
(24.36) дает, после замены а^ его выражением,
Здесь V есть скорость сопутствующей системы отсчета; эта скорость
совпадает в рассматриваемый момент со скоростью v частицы. Заменяя
поэтому V на v, перепишем предыдущие уравнения в виде
Теперь мы можем освободиться от сопутствующей системы отсчета, считая,
что написанные уравнения справедливы во всякий момент времени, так что
они представляют собой уравнения движения частицы. Форма уравнений
(25.14) и (25.15), однако, неудобна тем, что в них применен смешанный
способ написания: в левой части стоит четырехмерный вектор, тогда как
правые части выражены через трехмерные величины. Перейдем поэтому к
единообразному способу написания и выразим обе части сперва через
четырехмерные, а затем через трехмерные величины.
