Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрением тензоров.
§ 20. Определение четырехмерного вектора
В предыдущем параграфе мы напомнили определение тензора в трехмерном
евклидовом пространстве. Нам нужно теперь обобщить это определение на
четырехмерное многообразие пространства и времени. Роль поворота осей
будет играть теперь преобразование Лоренца. Существенно новым моментом
будет различие в знаках пространственных и временных членов выражения
ds2 - с2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2 (20.01]
для квадрата бесконечно малого четырехмерного интервала. Инвариантность
выражения (20.01) характеризует, как мы видели, преобразование Лоренца,
подобно тому, как инвариантность выражения
dl2 = dx2dy^ dz2 (20.02]
характеризует поворот пространственных осей.
Указанное различие в знаках весьма важно для всей теории, так как оно
отражает существующее коренное различие между пространством и временем.
Можно было бы, путем введения мнимых величин (мнимых координат или
мнимого времени), добиться того, чтобы квадраты всех дифференциалов
входили в ds2 с одинаковым знаком. Этот путь был указан Минковским, а
также Умовым. Однако достигаемая таким путем симметрия формул
относительно пространства и времени не является, по нашему мнению,
целесообразной, так как она затушевывает существующее между пространством
и временем различие г не несет с собой особых математических преимуществ.
Поэтому мь будем в дальнейшем оперировать с вещественными координатами к
вещественным временем.
Если мы положим
ct - х0", х = хх; у - х%\ z = x5, (20.03'
то выражение для ds2 примет вид
8
ds * = dx2 - dx2 - dx\ - dx2 = 2 ek dx2, (20.04
*=o
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ МЕРНОГО ВЕКТОРА
83
где величины ек равны ± 1 [см (8.25)]. Прямое и обратное преобразования
Лоренца напишутся:
з
= 2 ekaikxk, (20.05)
к=о
8
*" = 2 екаых' (20.06)
к~0
Следовательно, дифференциалы старых и новых координат будут связаны
соотношением
3
dx\ - 2 ekaik dxk, (20.07)
к-0
а частные производные от какой-нибудь функции "р по старым и новым
координатам будут связаны соотношением
2 дхк • (20.08)
* к-0
Если бы квадратичная форма (20.04) была определенной, то все числа ек
были бы друг другу равны и коэффициенты в формулах (20.07) и (20.08) были
бы одинаковы. На самом же деле мы имеем
е0 = 1; et = e2 = es = - 1 (20.09)
и некоторые из соответствующих коэффициентов в этих формулах отличаются
друг от друга знаком. Поэтому закон преобразования дифференциалов
координат уже не будет (как это имело место для чисто пространственных
вращений) совпадать с законом преобразования частных производных по
координатам. Это необходимо учесть при определении вектора. Мы должны
различать такие векторы, которые преобразуются как частные производные по
координатам, от таких, которые преобразуются как дифференциалы координат.
Первые мы будем называть новариантными, а вторые - контравариант-ними.
Составляющие ковариантного вектора мы будем обозначать буквами с нижними
значками, а составляющие контравариантного вектора--теми же буквами с
верхними значками. Таким образом, закон преобразования вектора будет
иметь вид
з
<"20.10)
k=0
для ковариантного вектора и
Л'4 = 2 ekaikAk (20.11)
k=0
в*
84
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ [ГЛ. II
для контравариантного вектора. Эти формулы можно записать в виде
А'{=^д^Ак (20.12)
*=о
-4"=2ёл'- <2013>
Лг = 0
Заметим здесь же, что из правила относительно расположения значков
(верхние и нижние значки) делают исключение в случае координат и их
дифференциалов: согласно общему правилу, мы должны были бы писать (dx)°,
(dx)1, (dx)2, (dxf, а не dx0, dxv dx2, dx.,, как это принято.
Если задан ковариантный вектор Ait то мы всегда можем ввести
соответствующий ему контравариантный вектор, положив
A* = etAt. (20.14)
Оба вектора не будут существенно различными, и мы будем говорить не о
двух векторах, а о ковариантных и контравариантных составляющих одного и
того же вектора.
Скалярное произведение двух векторов Ai и Bt определится как сумма 3
з
2 eiAiBi = 2 е{А*В*. (20.15)
г-0 г-0
которую можно также написать в виде
:i У
2^ = 2^. (20.16)
i-0 i=0
Эта величина будет инвариантной по отношению к преобразованию Лоренца.
Скалярное произведение вектора на самого себя з
2 AtA* = (А0? - (Л,)* - (Л2)2 - (A,f (2С. 17)
%-о
может быть величиной как положительной, так и отрицательной. Про вектор,
для которого величина (20.17) положительна, говорят, что он имеет
характер времени; вектор, для которого эта величина отрицательна,
называют имеющим пространственный характер. Наряду с этими терминами
употребительны также термины "временно-подобный" и "пространственно-
подобный" вектор.
Примером временно-подобного вектора может служить четырехмерная скорость,
составляющие которой определяются равенствами
§ 21] ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТЕНЗОРЫ 85
То, что совокупность величин (20.18) есть вектор, вытекает из следующих
соображений. Мы знаем, что величина
cd\ = ds - ^c% - dt (20.19)
есть инвариант. С другой стороны, величины (20.18) могут быть написаны в
