Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
F
¦ - дАх
1 ~ дхх дх0
дА0 dA,
2 дх.г дх0
1 о дА,
dx. дх0
(24.09)
тогда как для магнитного поля останутся прежние выражения. Все эти
выражения мы можем записать короче, если положим
F,
ik
дА/s, дА{
Мы будем тогда иметь
дх<
дхк
Н,
Я2 = /7п Я, = ^18
Ех - F
?о =
Е
ю \
а =
, = F,tn J
(24.10)
(24.11)
Если (Ах) есть ковариантный вектор, то (Fik) есть антисимметричный тензор
второго ранга. Таким образом, наше предположение о векторном характере
потенциалов приводит нас к заключению, что шесть составляющих
электромагнитного поля представляют, в четырехмер-пом многообразии
пространства-времени, антисимметричный тензор. На основании этого легко
проверить, что уравнения Максвелла кова-риантны по отношению к
преобразованию Лоренца. В самом деле, построим из производных от
составляющих поля тензор третьего ранга:
р dFjk ; df'jfi [ dFu
дх.
dxs
дхк
(24.12)
который, очевидно, будет антисимметричным. По формулам (22.09) ему можно
сопоставить псевдо-вектор
' ^1-23'>
pi - р .
1 - гш<
F~ - F.il0\ F* = F.
120*
(24.13)
96 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ [гл. II
Вычислим составляющие этого псевдо-вектора. Мы имеем
divH;
* р 0 - дЕ2а dCsi dFn_ дНг дН2 дН2
дх1 дх2 дхл дхг дх2 дхА
* р 1 - _ dF.a | дЕт | i dFво 1 дНх dE2 , dEa .
дх0 ' дх2 1 1 dx2 ~ с dt дхл 1 дх., '
* р 2 _ _ ^31 1 <?Дов i dFltt 1 дН2 dE.j, , dEt .
дх0 1 dxt 1 дхя с dt дхг 1 d*з '
* р 8 - _ dFVi . dFо! | 1 dt2о 1 dFfj dEt , dE2
дх0 1 дх., ' Г дх1 с dt дх2 1 дх j
(24.14)
Для наглядности мы заменили в правой части х0 на ct. В силу уравнений
Максвелла
curlE + -4?- = 0; divH: 1 с at
О
(24.15)
правые части равенств (24.14) равны нулю.
Следовательно, первая группа уравнений Максвелла может быть записана в
ковариантной форме
или
F{ = 0 (24.16)
Рш = 0. (24.17)
Обратимся теперь ко второй группе уравнений Максвелла. Для
этого
перейдем от ковариантных составляющих тензора поля к
контрава-
риантным
Я.2 *
До
Д23 - Нх Д31 = Я>
д1
Н0
р 10 -.
р-20 ________
(24.18)
и составим контравариантный вектор
=
Мы имеем s° = 0 - -^-1
дх, ' дх.
<Здоз dF"*
' дх.
SdFtk дхк
к=о
dEt | дЕ2
дх, ' дх,
(24.19)
дЕ,
з .
дх.
s- =
с3 _
dF' о 1-0 + - ЙД"2 , dx2 "г" dFU dxa - 1 с dEt dt + dH.A
dx2 dH2 dx.
dF(r) , 5Д21 1 П 1 dF*'' 1 dE2 I dHt dHз
дхо 1 -f-U -f- dx2 ~ с dt 1 dxз dx j
ад" , (ЭД81 . (ЭД32 + 0 = 1 dE;, I dH2 dHt
dx0 I dx2 с dt 1 dxt dx2
(24.20)
S 241
ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
97
i лким образом, нулевая составляющая вектора л4 равна
4'° = div Е,
(24.21)
ч пространственные составляющие совпадают с составляющими трех-лериого
вектора
В свободном пространстве правые части этих уравнений равны нулю.
Следовательно, вторая группа уравнений Максвелла для свободного
пространства может быть записана в ковариантной форме
В пространстве, заполненном зарядами с плотностью р, уравнения Максвелла
- Лоренца имеют вид
где j - плотность тока. Ковариантность уравнений Максвелла будет
обеспечена, если величины
будут представлять контравариантные компоненты четырехмерного вектора. В
силу тождества
Это уравнение выражает, как известно, закон сохранения заряда.
Четырехмерный векторный характер величин (24.25) вполне согласуется с их
физическим толкованием по Лоренцу. Согласно этому толкованию, j = pv, где
р - плотность заряда, a v - его скорость. Четырехмерный вектор тока
(s\ s\ sa) - - -- у -|- cud Н.
(24.22)
(24.23)
,. " . ... 1 ЭЕ 4т: .
d;v Е - 4тто; curl Н =rr =- j,
с dt с J
(24.24)
s° = 4itp; (t= 1, 2, 3)
(24.25)
(24.26)
i, k--=0
мы должны иметь
(24.27)
откуда
(24.28)
ос, ovv ov2, pz;B
(24.29)
7 Зак. iSo. В. А. Фок
98
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. II
пропорционален вектору четырехмерной скорости
(24.30)
[см. (20.18)], причем коэффициент пропорциональности равен
и представляет собою инвариант, физический смысл которого есть плотность
заряда в той системе отсчета, где этот заряд в данный момент неподвижен.
Мы проверили ковариантность уравнений Максвелла и установили, что закон
преобразования электромагнитного поля при переходе к другой системе
отсчета совпадает с законом преобразования антисимметричного тензора
второго ранга. Напишем этот закон преобразования в явной форме, введя
вместо коэффициентов преобразования Лоренца aik их значения,
соответствующие тому случаю, когда преобразование Лоренца не
сопровождается поворотом пространственных координатных осей. Мы имеем
(24.31)
а
, (24.32)
а,к = - Ы - Ко- Ib'lTT- (L k=l> 2< 3).
Подставляя эти значения в общую формулу
F-ii = etek 2 о,,
1. ( = '>
и пользуясь антисимметрией тензора Fik, по чучим
(24.33)
§ 24]
ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
и два других уравнения, получаемых из (24.34) круговой перестановкой
значков 1, 2, 3, а также
н два других уравнения, получаемых круговой перестановкой. Переходя,
согласно (24.11), к обычным обозначениям для электрического и магнитного
поля и пользуясь формулами трехмерного векторного исчисления, мы можем
