Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 17] ПРОСТРАНСТВО СКОРОСТЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО ЭЙНШТЕЙНА 71
вектор w, пропорциональный v, постоянен, то будет постоянно и векторное
произведение
[w X v] = const. (17.20)
Эго дает еще два линейно-независимых интеграла уравнений Лагранжа.
Из найденных интегралов следует, что уравнения прямой Лобачевского в
пространстве скоростей имеют вид линейных соотношений между составляющими
скорости vx, vy, vz. Мы знаем, что преобразование Лоренца соответствует
дробно-линейной подстановке между составляющими скорости. Поэтому
очевидно, что после преобразования линейные соотношения остаются
линейными.
Определим длину отрезка прямой Лобачевского, соединяющей две точки v = V,
и v = v2, и найдем связь между этой длиной и относительной скоростью тел,
движущихся со скоростями Vj и v2. Так как координаты точек на отрезке
связаны линейными соотношениями, то их можно представить параметрически в
виде
v = vt + p(v2 - vx) (0О<1). (17.21)
Подставляя это значение v в (17.04), получим
(>7.22)
Полагая для краткости
a - Yc2 (v2 - Vj)2 - [Vj X v2]2, (17.23)
мы получим по формуле (17.03) следующее выражение для длины отрезка:
(17-24>
Этот интеграл проще всего вычисляется при помощи подстановки
(с3 - vj) ?
С2 - V! • v2 + (V! • v2 - г/2) ? '
(17.25)
которая дает
где
abd\ 1.64-е _ "л.
62=^52 =-2'е 6^7 ' (17-26>
о
b = (? - vt • v2. (17.27)
Коэффициенты в подстановке (17.25) подобраны так, чтобы
пределы
по ? были 0 и 1 и чтобы знаменатель в (17.26) не
содержал
72
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. ]
первой степени Отсюда получаем
а
Т
что после возведения в квадрат и умножения на с2 можно написать в виде
ths, (17.28)
(V2 - Vj)2 - -4 [V! X v3p
- = c2th2s. (17.29)
VfV2\2
C2 )
Сравнивая эту формулу с (16.10), мы убеждаемся, что слева в ней
стоит квадрат относительной скорости. Таким образом, относитель-
ная скорость v' связана с длиной 5 отрезка прямой Лобачевского
соотношением
|v'| = cths. (17.30)
Предположим, что скорости vt и v2 одинаково направлены. Сопоставляя их
абсолютным величинам отрезков прямой Лобачевского, положим
-у1 = с th 5-г; ¦y.2 = cths2. (17.31)
Отрезок прямой Лобачевского, соответствующий относительной скорости,
будет равен разности отрезков s2 и sv Поэтому относительная скорость
будет равна
".' = Cthfe-S,)=CT!i^fiL (17.32)
ИЛИ
,= _v
, _ V2V1
С2
Это есть эйнштейнова формула сложения (в нашем случае -вычитания)
скоростей.
Рассмотрим теперь угол между относительными скоростями двух тел. Если
скорости берутся относительно точки, принимаемой за неподвижную, то
косинус угла определяется по обычной формуле
cos (v-p v,) = --г'-г1-, • (17.34)
12 I "i I • IЩ | 4 '
Но если скорости берутся относительно точки, которая сама движется со
скоростью и, то угол между относительными скоростями определится по более
сложной формуле, которую легко получить из следующих соображений.
Произведем преобразование Лоренца, после которого точка, двигавшаяся со
скоростью и, может рассматриваться как неподвижная, и применим затем
обычную формулу (17.34). Мы получим тогда
cos а - cos(v', V,;) = у-4-A-r, (17.35)
К • К
^ 17] ПРОСТРАНСТВО СКОРОСТЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО ЭЙНШТЕЙНА 73
г те v' и v' - скорости тел после преобразования Лоренца [эти скорости
получаются из (16.07) после замены v на и на v2]. Выразив v' и V.' через
vt и v2, мы получим после несложных выкладок
(vx - и) • (v2 - и) - [vi X u] [v2 X и]
cosa=--=^... (17.36)
У (vx - и)2 - ^ [Vj х и]2- у (v2 - и)2 - ^ [v2 X и]2
Но это есть выражение для косинуса угла треугольника в пространстве
Лобачевского (угол при вершине и в треугольнике с вершинами в точках u,
vt, v2).
В самом деле, наше исходное выражение (17.01) для квадрата элемента длины
в пространстве Лобачевского имеет вид
ds2 = C4dv)*~_tvXrfy]". (17>37)
Это выражение соответствует "смешению0 dv, исходящему из " точки " V. Для
смещения 8v, исходящего из той же точки, мы имеем
8si = ^,).WvXMl, (17.38)
Косинус угла между смещениями мы можем определить инвариантным образом по
формуле
= (17.39)
(эту формулу можно рассматривать, как определение угла в геометрии
Лобачевского). Если мы теперь будем в (17.36) писать v вместо и и
рассмотрим смещения
dv = з • (vL - v); ov = л • (v2-v) (17.40)
вдоль двух сторон треугольника, исходящих из вершины v, то получаемое из
(17.39) выражение для cos а совпадет с (17.36).
Таким образом, угол между относительными скоростями можно рассматривать
как угол в треугольнике Лобачевского. Если имеются три тела, движущихся
со скоростями vx, v.7, v3, то соответствующий треугольник будет иметь
вершины в точках vt, v2, v3, причем относительные скорости будут
соответствовать сторонам треугольника и углы между ними будут равны углам
треугольника. Такое построение можно сделать и в нерелятивистской
кинематике, но там геометрия пространства скоростей будет евклидовой,
тогда как в теории относительности геометрия этого пространства будет
геометрией Лобачевского.
Справедливость геометрии Лобачевского в пространстве скоростей может быть
