Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предыдущие соотношения выведены нами из уравнений движения заряженной
частицы, но они имеют общий характер. Так, соотношение (25.26) между
массой и энергией справедливо не только для рассмотренного здесь случая
материальной точки с неизменной массой покоя, но и для любого сложного
тела или системы тел, в которой могут происходить внутренние процессы,
меняющие массу покоя. Соотношение это выражает фундаментальный закон
пропорциональности между массой и энергией. К рассмотрению этого закона
мы вернемся в § 34.
§ 26. Приближенная постановка задачи о движении системы зарядов
Задача о движении системы заряженных материальных точек требует
совместного определения движения зарядов и электромагнитного поля, в
котором они движутся, причем наперед заданным может считаться только
внешнее поле. Передача взаимодействия между зарядами осуществляется полем
и происходит с конечной скоростью (со скоростью света). Вследствие этого
сила, действующая на данный заряд, будет зависеть не от мгновенного, а от
предшествующего состояния движения остальных зарядов. Поле, возникающее
при ускоренном движении зарядов, не только передает взаимодействие, но и
излучается вовне; поэтому энергия системы зарядов будет частично
тратиться на излучение и система не будет консервативной. Кроме того,
необходимо помнить, что поле обладает бесконечным числом степеней
свободы; поэтому система, состоящая из зарядов и поля, будет, строго
говоря, системой с бесконечным числом степеней свободы, а не чисто
механической системой.
Тем не менее задачу о движении зарядов можно приближенно формулировать
как задачу механики, ограничиваясь степенями свободы самих зарядов. Для
этого нужно поле (точнее, потенциалы) каждого из зарядов выразить через
его положение и скорость и затем приближенно произвести пересчет от
предшествующего момента
106
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. I,
времени к данному так, чтобы значение потенциалов в данной точке в данный
момент времени выражалось через положения и скорости частиц в тот же (а
не в предшествующий) момент времени. Таким путем можно построить
приближенную функцию Лагранжа для системы частиц.
Найдем сперва лагранжеву форму уравнений движения для одной заряженной
частицы. Нетрудно проверить, что уравнения (25.22) получаются из функции
Лагранжа
f 71-
L = - тс21/ 1---------------- -
¦ еФ + f (А ¦ v),
(26.01)
с
где Ф =- А0 и Ак - скалярный и векторный потенциалы. В самом деле, так
как xt = vp то мы имеем
dL пи,. , е
дх.
¦A,i
dL
дх,
дФ . о Y4 дАк
дх
с AU дх{ к = 1
(26.02)
Подставляя эти выражения в уравнения Лагранжа
d / dL \ dL q
dt \дх,- J дхi
(26.03)
и припоминая выражения (24.01) для поля через потенциалы, мы получим
¦е ~ [v X H]i} = 0, (26.04)
dt\
i'-i
г. е. уравнения (25.22). Что касается уравнения (25.21), то оно является
их следствием.
Перейдем теперь к системе частиц. Найдем приближенные выражения для поля
от частицы, движение которой известно. Рассматривая сперва сплошное
распределение заряда, мы можем написать уравнения для потенциалов
- 4тсо; (26.05)
ДФ-
с* дР
. 1 о-А 4- .
<rJ-
(26.06)
Нужное нам решение уравнения (26.05) есть запаздывающий потенциал
Г fP\dV'
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ
107
где
[р]=р(г '.О; t' = t - ~\r - r'\. (26.08)
Если движение частицы достаточно медленное и достаточно плавное *), то на
неслишком больших расстояниях от нее можно заменить [р] первыми членами
разложения этой величины по обратным степеням с и писать
[р] = Р (г'> 0 - ~г I г - г' | 4 р (г7, t) +
д/1
+iir-r'l*р-р(г/- '>+ ••• ^2б'оэ>
Подставляя это разложение в (26.07) и учитывая, что интеграл
f о(г\ t)dV'= еа (26.10)
представляет заряд частицы и потому не зависит от времени, мы
получим
ф Дтг-^+ilUо¦ IГ - г'|iV'+... (26.11)
Если мы будем теперь считать, что заряд сосредоточен вблизи точки **)
r' = r"=rn(/), (26.12)
мы получим из (26.11)
* = Т7^Г+Й"1Г-'(2eJ3)
Полагая
re(0 = ve (26.14)
и выполняя в (26.13) одно дифференцирование по времени, будем иметь
Ф = -
<26-,5>
. г - r" 1 2с'
Здесь первый член представляет кулонов потенциал от неподвижного заряда,
а второй - поправку на запаздывание.
В выражении для векторного потенциала можно поправочных членов не
учитывать ***) и писать его в виде
(26.16)
*) Эти условия налагают ограничения на скорость частицы (v2<^_c2) и на ее
ускорения различных порядков.
**) Значок а при еа, га, va и т. д. означает здесь номер частицы.
***) В функции Лагранжа и в уравнениях движения члены с векторным
потенциалом будут того же порядка, как члены с поправками к скалярному
потенциалу.
108
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. и
(Это значение векторного потенциала получится, если пренебречь в (26.06)
второй производной по времени, заменить плотность тока j на pvrt и затем
перейти к сосредоточенному заряду).
Выражение (26.14) для скалярного потенциала неудобно тем, что оно
содержит не только скорость va, но и ускорение va частицы, создающей
