Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(16.10)
(16.11)
5*
68
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
[гл. 1
мы в формулу (16.10) подставим вместо скоростей u, v обоих самолетов
относительно земли их скорости и", х" относительно какой-нибудь третьей
системы отсчета (скажем, относительно третьего самолета), то хотя и", х"
не будут равны u, v, но всё выражение
(16.10) для v'1 примет прежнее значение. Очевидно, так и должно быть
по самому смыслу величины как квадрата относительной скорости.
Формула (16.07) упрощается, если в данной системе отсчета скорости u, v
параллельны или если они перпендикулярны. В первом случае мы получим
v' =- V--~U:UV- (при [u X v) = 0), (16.12)
а по втором случае мы будем иметь
v/
ф
1-- и [при (u-v) -0]. (16.13)
Формула (16.12) (в которой скорость и вводится обычно с обратным знаком)
носит название эйнштейновой теоремы сложения скоростей.
В общем случае можно высказать следующее утверждение. Если рассматривать
"пространство скоростей" как пространство Лобачевского, то правило
сложения скоростей в теории относительности совпадает с правилом сложения
векторов в геометрии Лобачевского. Это утверждение будет доказано в
следующем параграфе.
§ 17. Пространство скоростей Лобачевского - Эйнштейна
Рассмотрим относительную скорость двух тел, движущихся с бесконечно
близкими скоростями v и v-j- dx. Деленную на скорость света с абсолютную
величину этой относительной скорости мы обозначим через ds. Положив в
выражении (16.10) u = v-H-^v, получим, по разделении на с-,
<17.01)
или иначе
(С2 -рЛ) (rfv)2+(v.riy)2
" (Ф - V 2)2 ' ' ^ '
По физическому смыслу выражения (17.01), пропорционального квадрату
бесконечно малой относительной скорости, оно является инвариантом по
отношению к преобразованию Лоренца. Это можно проверить и
непосредственно, подставив вместо величин vx, vy, vz их выражение из
(16.08) в виде дробно-линейных функций от vx, v vz\ тогда ds°- будет той
же функцией от г/, X, г/, dv', dv' dv
* *7 3} У 2 СИ У 2 >
как от г<", г"", гц, dvx, dvu, dv,.
§ 17j ПРОСТРАНСТВО СКОРОСТЕЙ ЛОБАЧЕВСКОГО ЭЙНШТЕЙНА 69
Выражение (17.01) или (17.02) мы будем рассматривать, как квадрат
элемента длины в некотором пространстве скоростей. Это есть то
пространство, в котором строится в обычной механике годограф скоростей.
Пространство это обладает всеми свойствами пространства Лобачевского,
причем деленные на с составляющие скорости vx, vy, vz являются в нем так
называемыми координатами Бельтрами (см. книгу В. Ф. Кагана [9], формула
CV1I1 на стр. 453). Свойства пространства Лобачевского могут быть
выведены из рассмотрения выражения (17.01).
Кривая в пространстве Лобачевского может быть задана путем задания
величин vx, vy, vz как функций от некоторого параметра р. Если концам
кривой соответствуют значения рх и р2, то длина дуги кривой определится
формулой
Pi
s = J Y~2Fdp, (17.03)
Pi
где
F = 1 ** 4-1-ДДД, (17 04)
2 сз -' 2 (с2_г,2)2 > >
причем точкой обозначены производные по параметру р. Найдем уравнения
прямой Лобачевского, т. е. кратчайшей кривой, соединяющей точки pv р.2.
Для этого нужно приравнять нулю вариацию интеграла (17.03), т. е.
составить уравнения Лагранжа с функцией
Лагранжа
L = 1/2F. (17.05)
Эгн уравнения имеют вид d. dL
dp dvx dvx
d dh dL* n *f Ii/;,
= 0 и т. д. (17.06]
пли
d ( 1 dF\ 1 dF n п-гп7л
-T- I v- -г-) = 0 и т. д. (17.07)
dP \V'2F dvx) Y2F dvx
Параметр p оставался до сих пор произвольным. Мы его выберем
так, чтобы было
^- = 0, const. (17.08)
При таком выборе параметра р уравнения (17.07) будут равносильны
слетующим:
d dF dF п /i-rfim
:---------------= 0 и т. Д. (17.09)
dp dvx dvx
1ак как функция F не содержит явно параметра р, то будет • OF , •
dF , • dF
70 ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. I
т. е. величина (17.10) будет интегралом уравнений Лагранжа. Но F есть
однородная квадратичная функция от vx, vy, vz\ поэтому величина (17.10)
равна F и, следовательно, условие (17.08) будет следствием уравнений
(17.09).
Выпишем уравнения (17.09) подробнее и найдем их интегралы. Мы имеем
дР _ vx , (у • у)
dvx с2 -1>2 2)2
dF / v2 , 2 (v • v)2 \ . • (v •
v)
(17.11)
/ v2 , 2 (v • v)2 \ • (v-v) n7 12.
a;\(C2 _ *,2)2 "Г (Ca _ *,2)3 ) г (c2 _ tfif' y ¦ >
Введем вектор w с составляющими
Формулы (17.11) и (17.12) напишутся тогда
dF | (v • w) .
dv. dl-dv
= (17Л4>
l- = vx (та2 -f - 2 -g^w? -j + "Гд. (у . w). (17.15)
Дифференцируя (17.14) по параметру p и выражая v через w, получим
d dF , (v • w) , / , | 0 (у • w)2 \
. .
^ ^ клт+^ Г +2 W)+¦ w> •
(17.16)
Подставляя (17.15) и (17.16) в уравнение Лагранжа (17.09), убедимся, что
они приводятся к виду
+ VX c(2V-i^2 = 0 и т. д. (17.17)
Легко видеть, что алгебраическим следствием трех уравнений (17.17)
является равенство (v • w) = 0, из которого следует, что уравнения
(17.17) равносильны следующим:
wx = 0, wy - 0, w2 = 0, (17.18)
или в векторной форме
w = 0. (17.19)
Таким образом, уравнения Лагранжа приводятся к требованию
постоянства вектора w, определяемого формулами (17.15). По если
