Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Например, в случае уравнения (18.01) неизвестной функцией является
величина со, входящая в уравнение фронта волны
§ 18. Замечание о ковариантности уравнений
(18.01)
да (х, у, z, t) = 0.
(18.02)
§ 191
определение тензора в трехмерном случае
77
Преобразованная функция о/, которая дает уравнение фронта водны и новых
переменных
т'(х', у', z', 0 = 0, (18.03)
будет просто равна старой, и вид ее определяется из условия
<а'(х', у', z', t') = ia(x, у, z, t)-. (18.04)
По в большинстве задач для сохранения вида уравнений необходимо
сопровождать преобразование Лоренца для независимых переменных тем или
иным преобразованием для неизвестных функций. Если существует такое
преобразование для неизвестных функций, что новые функции, выраженные в
новых переменных, будут удовлетворять уравнениям того же вида, как старые
функции в старых переменных, то уравнения называются ковариантными.
Требование ковариантности уравнений по отношению к преобразованию Лоренца
является обязательным следствием принципа относительности. С другой
стороны, ясно, что не всякие уравнения будут ковариантными. Нам надлежит
проверить, являются ли ковариант-пыми уравнения, принятые в физике для
описания того или иного физического процесса (например, уравнения
электродинамики или уравнения механики), и если нет, то видоизменить их
так, чтобы новые уравнения стали уже ковариантными.
Проверка ковариантности и составление ковариантных уравнений требуют
предварительного изучения величин с наиболее простыми законами
преобразования. При этом достаточно ограничиться линейными законами.
Полная классификация величин по их закону преобразования составляет
предмет одной из глав теории групп. Мы не можем рассматривать здесь этот
вопрос во всей его общности, а ограничимся тем, что необходимо Для
формулировки основных уравнений механики и электродинамики.
§ 19. Определение тензора в трехмерном случае и замечание о ковариантных
величинах
Формулы поворота пространственных координатных осей имеют вид
ч
xi - 2 aikxk k = 1
8
xk : Cj'ikxi*
k = l
)
I
(/, k= 1, 2, 3) •
(19.01)
где ai/c-косинусы углов между старыми и новыми осями. Мы можем формально
определить трехмерный вектор как такую совокупность
78
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ П ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл It
пеличин (Ах, А2, Л3) - его составляющих, которая при повороте осей
преобразуется по закону
а
(19.02)
к=1
Частным случаем вектора будет радиус-вектор, для которого At = х,, А.2 =
ха, Ап = х3.
Допустим теперь, что даны два вектора, причем их составляющие At и Вх
связаны линейной зависимостью
Я. = 2^;А- (19.03)
/,• = 1
После попорота осей новые составляющие векторов будут связаны аналогичной
зависимостью
з
в'г= 2 Г "Л* (19.04)
к = 1
причем
з
Т\к- 2 aij4iTji- (19.05)
j, i=i
В самом деле, для вектора В старые и новые составляющие должны быть
связаны теми же формулами, как и для вектора А. Выражая по этим формулам
В* через В., и затем в (19.03) А, - через Аи получим (19.04) и (19.05).
Совокупность величин Tik, преобразующихся при повороте осей по закону
(19.05), называется тензором, или, подробнее, тензором второго ранга
(вообще, ранг тензора равен числу его значков).
Примеры тензоров встречаются уже в нерелятивистской механике. Так,
составляющие момента количества движения твердого тела (В) связаны с
составляющими его угловой скорости (А) соотношениями вида (19.03), где
Tik - тензор моментов инерции. Другой пример дает теория упругости: там
такие же соотношения дают связь между составляющими (dFx, dFy, dF,) силы,
действующей на некоторую площадку, и проекциями (dSx, dSy, dS) этой
площадки на координатные плоскости, причем коэффициенты Tik представляют
тензор напряжений. В обоих примерах тензор Та симметричен относительно
своих значков, но встречаются и тензоры, которые этим свойством не
обладают.
Из формулы (19.05) видно, что составляющие тензора преобразуются, как
произведения х,Ьк координат двух точек (xv х2, х8) и (Ч> 'з> &з)> которые
могут и совпадать (хх=\).
Рассмотрим антисимметричный тензор, т. е. такой, составляющие которого
удовлетворяют соотношению
Ttfc - 9.
(19.06)
^ 10] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ 79
Примером такого тензора может служить антисимметричная комбинация
произведений координат двух точек
Т№ = х& - Ьхк. (19.07)
Так как значки принимают у нас только три значения (1, 2, 3), то вместо
двух значков мы можем писать один (дополнительный) значок н положить
^23 = ^32 = ^1' I
Тп = - Тхл=Т" (19.08)
Г12 = - ГВ1 = Г9. J
В обтем виде, если (/, k, Г) есть четная перестановка значков (1, 2, 3)>
mi.i будем иметь
Тш = Тг. (19.09)
Используя антисимметрию тензора Tilc, мы можем вместо (19.05) на-
писать:
8
Та - j 2 ^ip')M - aiqakp)Tpq. (19.10)
р, д=1
В этой сумме из девяти членов три (для р = q) равны нулю, а остальные
шесть попарно равны друг другу, так что фактически имеются три различных
члена.
Пусть теперь (г, k, I) и (р, q, г) - четные перестановки чисел (1, 2, 3).
