Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
результат подстановки (23.02) в (23.01) напишется:
у'' - х' -ф-а" -f- 2 eko>ikxk.
(23.04)
92
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[ГЛ. II
Так как для бесконечно малого преобразования различие между данной и
преобразованной системой отсчета становится несущественным, то разности
Ах* - хп - х* (23.05)
мы можем рассматривать как вектор, отнесенный к одной из этих систем
отсчета, скажем, к первоначальной. Таким образом, выражения
з
Ах* = й*'+ 2 ekmikxk (23.06)
к -о
представляют бесконечно малый контравариантный вектор. Отсюда следует,
что постоянные а* сами образуют такой вектор, а постоянные <ой
образуют контравариантный тензор. Тензор этот будет
антисимметричным. В самом деле, условия ортогональности
коэффи-
циентов преобразования Лоренца
2 (23.07)
i= 0
после подстановки в них выражений (23.02) и пренебрежения бесконечно
малыми второго порядка принимают вид
aiii-f-ojW - о. (23.08)
Антисимметричный тензор второго ранга имеет шесть независимых
составляющих. Эти шесть величин, вместе с четырьмя компонентами вектора
смещения начала, представляют десять независимых параметров, которые и
характеризуют бесконечно малое преобразование Лоренца.
Произведем последовательно два бесконечно малых преобразования: одно с
параметрами я,:, mik и другое с параметрами bi, vik. Легко видеть, что
результат двух таких преобразований равносилен, с точностью до величин
второго порядка, одному преобразованию с параметрами
с* = а* -)- Ь>; = ш*'*~|~ ср". (23.09)
Отсюда, в частности, следует, что результат двух бесконечно малых
преобразований не зависит от их порядка. Пользуясь этим, мы можем
последовательно рассмотреть смещение начала, переход к движущейся системе
отсчета и бесконечно малый поворот пространственных осей. Полагая
а0 = c-z, а1 = ах\ а2 - ау\ а3 = аг, (23.10)
мы получим преобразование, которое соответствует переносу начала счета
времени на более ранний момент на величину т и переносу начала координат
назад на величину вектора а. Переход к системе
$ 23]
БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛОРЕНЦА
93
отсчета, движущейся с бесконечно малой скоростью V, означает
преобразование
для времени.
Переходя от трехмерной символики к четырехмерной н сравнивая коэффициенты
в (23.11) и в (23.06), получаем
- результат очевидный, так как тензор a><ft антисимметричен.
Рассмотрим, наконец, бесконечно малый поворот пространственных осей. По
известной формуле кинематики мы имеем
I де о) - вектор бесконечно малого поворота (составляющие его равны
бесконечно малым углам поворота вокруг осей х, у, z).
Сравнивая (23.15) и (23.06), получаем
Мы выпишем также ковариантные составляющие тензора <s>ik. Опуская значки
по известному правилу, получаем
тогда как остальные составляющие получаются из условия антисимметрии.
В заключение заметим, что формулы для конечного преобразования Лоренца
можно получить, исходя из рассмотрения бесконечно малого преооразования;
но на этом мы останавливаться не будем.
х' - х = Ах = - VJ, ] / - у = Ау = - Vyt, J z' - z = Az = - Vzt J
(23.11)
для координат и преобразование
f - t = A t=-±(xVa,+yVy + zVs) (23.12)
(23.13)
с
с
с
Сравнение коэффициентов в (23.12) и в (23.06) дает
с
(23.14)
Дг - [u) X г],
(23.15)
(В13 - 4>у, (О12 (О-1 = (Ог.
(23.16)
(23.17)
94
теория относительности и тензорной форме
[гл. н
§ 24. Закон преобразования электромагнитного поля и ковариантность
уравнений Максвелла
При выводе основных формул теории относительности мы исходили из закона
распространения фронта электромагнитной волны, вытекающего, как показано
в § 3, из уравнений Максвелла. Нам надлежит теперь проверить, что
уравнения Максвелла действительно являются ковариантпыми по отношению к
преобразованию Лоренца, а для этого нужно прежде всего установить закон
преобразования электромагнитного поля при переходе к новой системе
отсчета.
Как известно, электромагнитное поле можег быть выражено через скалярный и
векторный потенциалы по формулам
Поле обращается в нуль в том и только в том случае, когда линейная
дифференциальная форма
есть полный дифференциал. Мы примем, что эта линейная форма является
инвариантом (скаляром). Для этого достаточно считать Ах, А." А,
пространственными (ковариантными) составляющими четырехмерного вектора,
пулевая составляющая которого равна
(24.01)
оср - - сФ dt -j- Ах dxx -j- Ar, dx^ -j- A., dx.^
(24.02)
A0 - Ф.
Имея в виду, что ct = х0, мы можем написать З'р в виде
(24.03)
з
Sts = 2 At dxL.
(24.04)
Обычное условие нормировки для потенциалов
j- " I 1 <?Ф А
dlv АД --д- = 0
1 с dt
(24.05)
будет условием, инвариантным относительно преобразований Лоренца, так как
его можно написать в виде
§ 24] ЗАКОН ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
95
или, если ввести контравариантные составляющие .4° = А0 = - Ф; А1 = ~А1;
Л'2 = - А</, Ай -
в виде
ул дА1
Ьдх,
= 0.
А,л, (24.07)
(24.08)
Подставляя в (24.01) x0~ct, Ай - -Ф, перепишем выражения для поля в новых
обозначениях. Мы получим для электрического поля
