Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пользуясь обозначениями (25.02) для четырехмерной скорости и
обозначениями (24.11) для поля, мы можем написать уравнения (25.14) и
(25.15) в виде
W' - т (U°F"> + "Г U 'F42 + (* = 1 > 2, 3). (25.17)
w* =
(25.09)
(V.E0;
тс
(25.11)
(25.10)
(25.12)
ни1 =
т Ус- - V2
с
(E + i[VXHl). (25.13)
w° = - . - (v • Е);
т 1/ />2______ 7,-2
т у с'1 - v*
(25.14)
т Ус2 - V2 \
(E + -[vXH]). (25.15)
w° = -^ №о + н^оо-Ь u*Fmy,
(25.16)
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ точки
103
Вследствие антисимметрии тензора Fik в правой части каждого из уравнений
(25.17) будет фактически не четыре, а три члена. Переходя к ковариантному
вектору ускорения
w0 = -кВ; wL = -иВ; (r).2 - - w'!; w.j =-w'A, (25.18) мы будем иметь для
всех значений / от 0 до 3
(r)i = - ^ 2 икр*- (25.19)
к -0
Здесь справа и слева стоит ковариантный вектор; поэтому очевидно, что
уравнения движения в форме (25.19) сохраняют свой вид в любой системе
отсчета, как и должно быть. Легко проверить, что
(25.20)
¦г=о
в согласии с (20.24). Первое из уравнений движения является поэтому
следствием трех остальных.
Ввиду ковариантности уравнений (25.19), для обоснования их достаточно
было бы проверить, что в сопутствующей (штрихованной) системе отсчета они
приводятся к виду (25.07).
Переходим теперь к трехмерному способу написания. Используя выражения
(25.01) для четырехмерного вектора ускорения и вводя трехмерную векторную
символику, мы будем иметь
= <25-2')
^7тУ='(е+^1,ХН|)' <25 22)
В уравнении (25.21) правая часть представляет собою мощность, т. е.
работу, производимую полем над частицей в единицу времени; по общим
принципам механики левую часть следует поэтому толковать, как приращение
кинетической энергии частицы в единицу времени. В уравнении (25.22)
правая часть представляет лоренцову силу, а левая часть есть приращение,
в единицу времени, количества движения частицы.
Таким образом, кинетическая энергия частицы и ее количество движения
могут отличаться только на постоянные от выражений
104
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[ГЛ. II
которые стоят в уравнениях движения под знаком производных по времени.
Значения этих постоянных определяются из требования ковариантности:
необходимо потребовать, чтобы энергия и количество движения частицы *)
составляли четырехмерный вектор. Но величины (25.23) и (25.24) сами
составляют четырехмерный вектор, поскольку они пропорциональны нулевой и
пространственным составляющим четырехмерной скорости. Поэтому упомянутые
постоянные равны нулю**). Следовательно, величины (25.23) и (25.24)
представляют энеогию и количество движения частицы.
При v - 0 получается, в соответствии со старыми представлениями, Р = 0:
количество движения неподвижного тела равно нулю. Но энергия W получает
при v -- 0 отличное от нуля значение
W0 - тс2. (25.25)
Этот результат противоречит старым представлениям, но полностью
подтверждается на опыте: всякому телу с массой tn соответствует запас
энергии W0 (см. ниже § 34). Подобное соотношение
W-Mc* (25.26)
между массой и энергией тела имеет место и для произвольной скорости v,
если только разуметь под М величину
М=--=0L=, (25.27)
которая сама зависит от скорости. Величину М следует рассматривать, как
рациональное обобщение понятия массы. Она входит, в качестве множителя
при скорости v, в выражение (25.24) для количества движения Р и
характеризует поэтому инертность тела (его инертную массу). Величину М
называют просто массой, тогда как т называется массой покоя. Сообразно
этому, величину W называют просто энергией, а величину W0 - энергией
покоя.
Масса покоя т есть постоянная, которая не зависит от состояния движения
частицы как целого, но может зависеть от внутреннего состояния частицы
(если последняя имеет сложную структуру и обладает внутренними степенями
свободы). Масса покоя т. выражается через инвариант четырехмерного
вектора энергии - количества движения. В самом деле, инвариант этот от
скорости не зависит и равен
J^_/>2 = JB2C3. (25.28)
*) Точнее, деленная на с энергия и количество движения.
**) Подробнее можно было бы рассуждать так. Упомянутые постоянные должны,
с одной стороны, составлять вектор, а с другой стороны, они не должны
зависеть от состояния движения, а значит, и ог системы отсчета. Но
отличного от нуля постоянного вектора, значения составляющих которого не
зависели бы от системы отсчета, не существует.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ
105
Зависимость массы М от скорости такова, что при приближении скорости
частицы к скорости света масса ее неограниченно возрастает. Вследствие
этого ни в какой системе отсчета ни одно тело с массой покоя, отличной от
нуля, не может достичь скорости света. Эго обстоятельство наглядно
подтверждает предельный характер скорости света.
Если же скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, то
разность
W-~ mv'2т ^. (25.29)
1 б С"
будет лишь на малые величины отличаться от обычного выражения для
кинетической энергии частицы.
