Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Обратно, пусть В: ЕУ^Е-^К—билинейная форма на Е. Для каждого у^Е обозначим В(-Уу) линейную форму Е-+К, >В(*, у)\ пусть аналогично
В (уу •) есть линейная форма Е Ку х В (у} х). Тогда отображения
I: Е->Е\ уь^В{-,у) и J: Е->Е\ yv->B(y, •)
линейны и взаимно транспонированы, а следовательно, имеют одинаковый ранг. Поэтому мы можем ввести
Определение 8.1. Билинейная форма В на В называется невырожденной, если линейные отображения
I: у*-*В(-, у) и /: yt->B(y, •)
имеют ранг п = dim Е.
Итак, имеет место
? Предложение 8.1. Если Е — конечномерное векторное пространство над полем, то изоморфизмы Е на его сопряженное имеют вид I: г/ь->В(*Э у), где В — невырожденная билинейная форма на В.
Использование базисов. Обозначим через е — “ базис В; тогда каждая билинейная фор-
ма В на В запишется в виде
Оп п \ п
^ xfii, Uieij ^ ^ ^ij^iy/» где ац ==- В (???, ??у).
Для каждого / образ /(^) вектора е* при отобра-
п
жении /: у*—>В(-у,у) есть линейная форма X a****.
й-1
Матрица отображения I в дуальных базисах е = (е*) и е* = (xi) равна, таким образом, матрице (аы) билинейной формы В в базисе (ei). Для того чтобы I было изоморфизмом, необходимо и достаточно1 что-
72 ГЛ. И. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
бы детерминант этой матрицы был отличен от нуля.
Отсюда видно также, что матрица отображения /:?->?*, у ь—> В (у, •) в базисах (е,-) и (хг) получается транспонированием матрицы (аы)\ она равна матрице билинейной формы *В: (х, у)*—>В(у, х) и имеет тот же ранг, что и матрица формы В.
Ортогональность в Е. Задание изоморфизма Е на ?* позволяет определить отношение ортогональности на самом Е: элемент у в Е называется ортогональным кхе?, если I (у) (х) = 0, т. е. если В (х, у) = 0.
Но это отношение ортогональности получает интересное развитие только в случае, когда оно симметрично, т. е. когда В(х, у) = 0 равносильно В(у> х) — 0. Последнее имеет место в двух следующих случаях (см. упр. И. 18):
\) форма В симметрична, т. е. для любых (х, у)е е Е2 выполнено В (х, у)= В (у, х);
и) форма В кососимметрична, т. е. для любого хе? имеем В (х, х) = 0 ]).
Первый случай представляет предмет изучения в ортогональной геометрии, ассоциированной с квадратичной формой х >—> В (х, х); евклидова геометрия есть частный случай, когда К = К и форма В положительно определенная2).
Изучение второго случая составляет предмет сим-плектической геометрии.
По поводу этих геометрий см. более специальные сочинения ([АЯ], гл. III, [ОЕ]).
9. О БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
На протяжении предыдущих параграфов мы изложили некоторые свойства конечномерных пространств. Чтобы удовлетворить законное стремление к наибольшей общности, мы укажем здесь на некоторые трудности, возникающие при переходе от конечной размерности к бесконечной.
*) Если саг К = 2, то условие i) равносильно условию ii)« Случай саг К = 2 обычно исключается. — Прим. перев.
2) Если К = R, но форма В знаконеопределенная, то говорят о псевдоевклидовой геометрии,Прим. перев.
9 О БЕСКОНЕЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
73
? Прежде всего выражение «бесконечная размерность» не должно вводить нас в заблуждение: оно означает лишь, что рассматриваемое пространство не допускает конечного базиса. Два бесконечномерных векторных пространства над одним и тем оке полем необязательно изоморфны.
Контрпример 1. По построению, векторное пространство R [X] многочленов над R допускает счетный базис (Хп)ПЕ. N (см. § 2); можно заметить, что R [Х\ отождествимо с множеством конечных последователь-ностей действительных чисел.
Напротив, векторное пространство RN, образованное бесконечными последовательностями действительных чисел, не допускает счетного базиса и потому не изоморфно R [X], хотя оба пространства «бесконечномерны».
В самом деле, последовательности sa: п*—>па9 где а пробегает R+, образуют свободное несчетное семейство элементов Rn (см. упр. 19). Если бы Rn допускало счетный базис (a*)fe=N» то каждое из множеств
Ап = {а €= R+ | sa €= Vect (a0> au ..., an)}
было бы конечным мощности, не превосходящей п + 1 (так как размерность Vect(a0, Яь •••> ял) равна п+1), и их объединение, равное R+, было бы счетным, что приводит к противоречию.
Контрпример 2. R есть векторное пространство над Q, не имеющее счетного базиса и потому неизоморфное Q [X].
В самом деле, предположим, что R, рассматриваемое как векторное пространство над Q, допускает счетный базис (яЛ)леМ. Тогда для любого ле N подпространство Ап = Vect(a0, а\9 •••, яп-н) изоморфно Qn+l и потому счетно. Счетным оказалось бы и R= У АП9 что противоречит несчетности R.
neN
(О существовании базисов (R над Q говорится в § Ю.1
74 ГЛ. II. СТРУКТУРА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
О распространении свойств на случай бесконечной размерности
Среди классических свойств конечномерных векторных пространств, формулировка которых сохраняет) смысл и в бесконечномерном случае, мы будем различать три категории свойств.
1° Некоторые свойства становятся неверными, если хотя бы одно из рассматриваемых векторных пространств бесконечномерно.
Примеры, а) Утверждение «каждый инъективный или сюръективный эндоморфизм Е является автоморфизмом» неверно, если Е бесконечномерно.
