Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
? Предложение 3.1. Аффинные подпространства в
проходящие через точку А, суть векторные подпространства векторного пространства & д.
Это краткое рассмотрение показывает, что направление ЛАМ Т пространства § полностью определяется заданием множества точек Т.
Другие определения
Предложение 3.1 показывает, что данное выше определение эквивалентно следующему элементарному определению:
Определение 3.1. Непустое подмножество Т аффинного пространства & называется линейным аффинным многообразием, если в Т существует точка А,
такая, что VА = {АМ | М^Т) является векторным подпространством в Е.
Приняв определение 3.1, можно непосредственно установить следующее
Предложение 3.2. Пусть Т — непустое подмножество в ^ и А — точка Т, такая, что VА — {АМ [ М е Т) есть векторное подпространство в Е. Тогда для любой
точки В из Т множество Vв = [ВМ \М е Т) совпадает с ]/А.
88 ГЛ. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Доказательство. VB есть множество векторов ВМ = АМ — АВ, где AM е VA; таким образом, Vв есть образ VA при биекции т: Е->Е, иь—>и — АВу и поскольку А.В ее VА, то т(VA) — VA.
Установив это, легко убедиться, что Т наделено структурой аффинного пространства, ассоциированного с векторным пространством V = Уд, которое не зависит от точки А.
Вместо того чтобы исходить из векторной структуры Уд, можно использовать отношение эквивалентности, связанное с действием У на Т (см. § 1): ЛАМ суть классы эквивалентности для этого отношения, и мы приходим к следующему равносильному определению:
Определение 3.2. Пусть У — векторное подпространство в Е и Sly — отношение эквивалентности, определенное на ^ с помощью
ASlyB <=>- АВ е’ У;
аффинными многообразиями с направлением У называются классы эквивалентности по отношению 9lv.
Существуют и другие способы определить ЛАМ пространства Ж (см. упр. III. 4), но нам кажется, что данные выше определения ведут к наиболее простому способу изложения дальнейшего.
Случай векторного пространства
Каждое векторное пространство Е канонически снабжено аффинной структурой, так как (Е, +) действует на себе трансляциями; в этом случае нулевой вектор 0 называется также «началом» Е и
(V (р. Я) е Е2) pq — q р.
ЛАМ пространства Е, проходящие через 0, суть векторные подпространства в Е; ЛАМ, проходящие через точку а е Е, суть образы векторных подпрО' странств Е при параллельном переносе %а.
3. ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
89
Ради краткости ЛАМ, не проходящие через начало, будут называться собственно аффинными (поскольку они не являются ВПП в Е).
Размерность линейного аффинного многообразия
Вернемся к случаю произвольного аффинного пространства <?Г; предшествующие рассмотрения позволяют определить размерность ЛАМ как размерность его направляющего ВПП. Отсюда появляются понятия: аффинной прямой (ЛАМ размерности 1) и аффинной плоскости (ЛАМ размерности 2). ЛАМ размерности 0 суть точки <§.
Аффинной гиперплоскостью называется ЛАМ, направляющее подпространство которого есть векторная гиперплоскость.
Пересечение линейных аффинных многообразий
Предложение 3.3. Пусть е 1— семейство аффинных подпространств в & и 1Л для каждого / е/ — направляющее подпространство для Уь.
Если пересечение У =* [\ У1 непусто, то оно
является аффинным подпространством в Е с направляющим V = П К*.
ге/
Доказательство сразу получается из определения 3.1. При тех же обозначениях имеет место
Предложение 3.4. Для того чтобы пересечение У\ П Двух ЛАМ в Ж было непустым, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие точки А, &
е Т\ и Ач^Тч, что АХА2 е К, + У2, и тогда
(УМ, е= Г,) (\Ш2 е Г2) ЩМ2 е=У,4- К2.
Доказательство. Если А ^Т{(] то для любых М, е Тъ Мч^-Тч имеем АМ,еК, и ЛМ2еУ2-Таким образом, М1М2 = АМ2 — АМ, е У, + Г2.
Обратно, если существуют и А2^Тг,
такие, что А,А2 е У| + Г2, то можно представить Л,Л2
90 ГЛ. ПГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
в виде А1А2 = и1 + иъ где ux^Vb u2^V2. Тогда точка Л, определяемая условием АуА = щ, принадлежит Ту и, как легко видеть, Л2Л = — и2. Это доказывает, что Л принадлежит также Тъ а тем самым Ту П Т2 не пусто. ?
Из предложения 3.4 можно получить примеры ЛАМ с пустым пересечением, а также
Предложение 3.5. Если Tlf F2—-аффинные подпространства в S, направляющие которых взаимно дополняют друг друга в В, то Ту и Т2 имеют единственную общую точку.
Параллелизм
Определение 3.3. Говорят, что два линейных аффинных многообразия Ту, Т2 вполне параллельны1) у если они имеют одно и то же направляющее подпространство: Fi — V2-
Более общо, говорят, что Ту параллельно2) Т2, если направляющие пространства Vy, V2 многообразий Т\у Т2 удовлетворяют включению Fi с: F2.
Можно проверить, что отношение «Ту вполне параллельно (соотв. параллельно) Т2» равносильно существованию трансляции т пространства <§Г, такой, что х(Ту) = Т2 (соотв. х(Ту)аТ2)-
Аффинное подпространство, порожденное подмножеством X пространства $
? Предложение 3.6. Если X — непустое подмножество в то существует единственное аффинное подпространство в &г обозначаемое Aff(X), содержащее X и обладающее следующим свойством:
