Основания геометрии - Ферран Ж.Л.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Любое аффинное подпространство содержащее Ху содержит и Aff (Z).
!) В оригинале «fortement parall?les» («сильно параллельны»). — Прим. перев.
2) В оригинале «faiblement parall?le» («слабо параллельно»).— Прим. перев,
3. ЛИНЕЙНЫЕ АФФИННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
91
Говорят, что Aff (X) порождено X.
Коротким способом доказательства предложен ния 3.6 является применение предложения 3.3: fAff (X) есть пересечение всех ЛАМ, содержащих X. Недостаток этого рассуждения в том, что приходится привлекать семейство «всех ЛАМ, содержащих X», о котором мало что известно и которое обычно даже несчетно!
Более элементарный и конструктивный способ состоит в выборе в X начальной точки А, что сводит задачу к отысканию наименьшего векторного подпространства в Ж а, содержащего X (поскольку ЛАМ, содержащие Ху являются ВПП в S). Таким образом, Aff (А) есть ВПП в Sa, порожденное Х\ при этом сам характер задачи показывает, что это ВПП не зависит от выбора точки А в X. Если мы заметим, что направляющее подпространство для Aff (А) есть ВПП
в Е, порожденное векторами (АМ)м^х, то получим также
Предложение 3.7. Пусть X — непустое подмножество в S\ для каждой точки Ле! положим
VА = Vect (АМ)м^х. Тогда векторное пространство VА
не зависит от выбора А и Aff (А) есть ЛАМ, проходящее через А с направлением 1/л.
Можно дать прямое доказательство этого утверждения, аналогичное доказательству предложения 3.2.
В частности, если X = {А0, Аи ..., Ап} — конечное множество, то векторное пространство Vi =
= Vect (А*Ау)у ф / не зависит от i и, следовательно, совпадает с
Vq = Vect (A0Aj){ и Vect (AlAy)0^i
о </ <«
Отсюда вытекает
Предложение 3.8. Размерность аффинного подпространства, порожденного п -f 1 точками А0, Аи ..., Ап пространства S, не превосходит п\ его размерность
92 гл. III. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
равна п тогда и только тогда, когда п векторов
АИг образуют свободное семейство.
Другие свойства ЛАМ изучаются в связи с понятием барицентра.
4. БАРИЦЕНТРЫ; ПРИЛОЖЕНИЯ К ИЗУЧЕНИЮ АФФИННЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
В последующем Ж всегда обозначает аффинное пространство, ассоциированное с левым векторным пространством Е над, вообще говоря, некоммутативным телом К. «Взвешенной точкой» называется элемент (АД)е^Х^С-
^ Теорема 4.1. Для каждого конечного семейства (системы) (Л,-, взвешенных точек, такого, что
2 ф 0, существует единственная точка б, удов-
I ?Е /
летворяющая любому (а тогда и двум остальным) из следущих трех условий а), Ь), с):
Эта точка называется барицентром (центром тяжести) системы (А*, Яг)/е/. Мы обозначаем ее
Эквивалентность трех условий легко устанавливается с помощью соотношения Шаля.
Свойства, а) Однородность (слева).
Предложение 4.2. Для любого А, е /(* имеем
а) Е = о,
$(А[, &і)ієГ
3$ (А{, — 3$ {А[,
Ь) Ассоциативность.
’4 БАРИЦЕНТРЫ
93
Предложение 4.3. Пусть (/ь ..., /р) —- разбиение /, т. е. совокупность непустых попарно непересекаю-щихся подмножеств /, таких, что и /а = /.
1 < а < р
Если для любого ие{1, р} скаляр ца =
— 2 ^1 отличен от нуля и мы положим Оа =
— , то
а
€ / = (^а> М'а)1^а^р*
Доказательства получаются непосредственно. ?
? Замечания. По предложению 4.2 можно всегда привести дело к случаю, когда «полная масса» системы (Аи т. е. 2 равна 1. В этом и только
I е= 1
е этом случае можно положить
Для успешного использования этого обозначения следует заметить, что соотношение 0=2 Х(АЬ рав-
/<ее /
носильно каждому из следующих утверждений:
2 Я*=1 и (ЗЛе=<Г) Лб= 2 мХ (1)
ie/ /е/
OMeff) (2)
так как (2) влечет за собой (1).
Эквибарицентром конечного подмножества пространства называется точка $(At, l)is/. Она существует только тогда, когда характеристика К не является делителем числа п = Card(/).
Следующее утверждение показывает, что отыскание барицентра сводится, за некоторыми исключениями, к последовательному построению барицентров пар точек.
04 ГЛ. ИГ. СТРУКТУРА АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА НАД ТЕЛОМ
Предложение 4.4. Пусть (Ah Яг),е/ — конечное семейство взвешенных точек, таких, что Яг Ф О для всех / е /, 2 Яг =7^= 0 и Card (/) ^ 3.
Если характеристика К отлична от 2, то существует разбиение (/1, /2) множества /, такое, что
2 ^ 0 и А^ 7^= 0.
i е /j is /2
Доказательство. Если одна из сумм р, = ?
отлична от нуля, то достаточно положить Jx = {/} и
/2 = /\{/Ь
Если все суммы р/ равны нулю, то все А/ равны одному и тому же элементу Ае/(*, такому, что (/г — 1)А = 0, где п = Card(/).
Если характеристика К отлична от 2, то 2А ф 0, и, поскольку (п — 2)А==—А не равно нулю, получим искомое разбиение, выбирая ]\ как двухэлементное подмножество, a J2 как подмножество из (п — 2) элементов. ?
Следствие. Если характеристика К не равна 2, то построение барицентра п точек приводится к последовательному построению п— 1 барицентров пар.
Приложение к линейным аффинным многообразиям
Теорема 4.5. Если X — непустое подмножество в то Aff(X) есть множество барицентров конечных семейств взвешенных точек с носителями в X.
Доказательство. Уточним сначала, что под носителем семейства (Aif А*)/ез/ понимается множество
