Лекции по алгебре - Фаддеев Д.К.
Скачать (прямая ссылка):
Оператор st, для которого st2 = st, называется идемпотент-ным. Таким образом, оператор проектирования идемпотентен.
Справедливо и обратное, любой идемпотентный оператор, отличный от 0 и &, есть оператор проектирования. Действительно, пусть st2 = st. Обозначим StS = P и (S-St)S = Q. Для любого jeS верно равенство z = stz+ (S— st)z = x + y при X єе Р, у eQ. Следовательно, 5 = P + Q. Остается доказать, что эта сумма прямая. Пусть Pf)Q- Тогда v = stz\ hu== = (<§ —st)z2 при некоторых zi, Z2^S. Из первого представления следует, что stv = St2Zi =¦ •S^-Zi = и, из второго, что stv = = (st— st2) Z2 = О Таким образом, о = 0 и S = PQQ. Следовательно, из равенства z = х + У при х = stz є P и у = (<? — st) г є eQ следует, что X = stz есть проекция вектора г на P параллельно Q.
В базисе, составленном из базисов PhQ, оператор проектирования имеет диагональную матрицу, ибо все векторы из P являются собственными векторами для собственного значения 1, а все векторы из Q — собственные векторы для собственного значения 0. Поэтому матрица имеет вид
где k = dim P.
13. Полуобратные линейные отображения. Пусть st—любое отображение пространства 5 в пространство Т. Положим korst = = P и обозначим через S0 какое-либо подпространство, дополняющее P до S, т. е. такое, что P -\- S0 = S. Положим T0 = stS, и пусть Q — какое-либо подпространство, дополняющее T0 до Т, т. е.
Тогда st отображает So на T0, ибо векторы из P отображаются на нулевой вектор. Ядро этого отображения состоит только из нулевого вектора, ибо S0 и P пересекаются только по 0. Поэтому ограничение St0 оператора st на S0 имеет обратный оператор st*1, определенный на подпространстве T0 пространства Т.
Пусть st^-v есть продолжение st*1 на все пространство Т, отображающее векторы из Q в нулевой вектор пространства S. Ясно, что st^-v есть линейный оператор, действующий из T в S. Он называется полуобратным для st. Разумеется, st^-l) зависит от выбора подпространств S0 и Q.
Для st(-l) подпространство Q является ядром и S0 — образом. Подпространство T0 составляет прямую сумму, равную Т, с ядром Q оператора st{~X), и подпространство P дополняет образ S0 оператора St^ до пространства S. Таким образом, поменяв ролями
T0 +Q = Т.
332
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. XI!
5 и Т, S0 и T0, P и Q, мы можем построить (^?(-")(-1). Ясно, что (^(-1))(-1) = ^.
Оператор si^si отображает SbS. Если z = х+г/єS при х <= S0, f/ ^ Л то siz = ^x = ^0x є T0 и sP~X)siz = St0-1St0x = х. Таким образом, si^si отображает любой вектор г из S на его составляющую х в разложении г = х + у,'х є S0, у ^ Р. Оператор проектирует векторы из 5 на подпространство S0 параллельно подпространству Р.
Соответственно, оператор sisi1--^, отображающий Г в Г, проектирует векторы из Г на подпространство T0 параллельно Q.
Полуобратный оператор sii~1) обладает свойством sis?-^si = = si-. Действительно, если z = x + у, X е S0, у єе Р, то st(-X)siz = = x и StS^-1Sl-Z = six = .s/z, ибо x и z отличаются слагаемым из ядра Это верно для любого zeS, следовательно,sisi{-1]si=si. Соответственно, si1 - l)sist{ - " = ".
Предложение 15. ?сли оператор si из S в T и оператор SS из T в S связаны соотношениями slS?si = si и SSsISS = SS, то $ = = ^(_1) по отношению к некоторым прямым разложениям пространств SuT.
Доказательство. Из st$sl = si следует, что SSsiSSsi = = 3Ssl, т. е. &si есть идемпотентный оператор из 5 в 5. Следовательно, он является оператором проектирования. Обозначим через So подпространство, на которое ¦3HsI проектирует 5, и через P— подпространство, параллельно которому происходит проектирование. Проверим, что P = ker si. Действительно, если х єе Р, то SSsix = 0 и si3Ssix = six = 0, так что P s k&r si. Обратное включение тривиально. Из того же соотношения siSSsi = si заключаем, что siSSslffl = siSS, т. е. siSB— идемпотентный оператор'из T в Г, т. е. оператор проектирования. Введем обозначения T0 и Q для образа и ядра siSS. Операторы si и осуществляют взаимно обратные отображения подпространств S0 и Го, ибо 3SsI действует на S0 как единичный оператор, slSS действует таким же образом на Г0. Остается доказать, что Q аннулируется оператором Ш. Здесь используется соотношение SSsISS = Ш. Действительно, при у будет SSy = SS (siSS) у = 0, ибо si SS у = 0.
Для операторов, действующих из S в 5, тоже можно определить полуобратные операторы, исходя из двух, вообще говоря, различных разложений S в прямую сумму подпространств,,— одно разложение S = P + 5о, другое S = siS -\- Q.
Имеется ситуация, когда эти разложения можно взять одинаковыми. Именно, если подпространства slS и P = ker si пересекаются только по нулевому вектору. Это значит, что если siz Ф 0, то si (siz) = st2z Ф0. Тогда и s?z, и si4z, и т. д. — все отличны от нулевого вектора. Таким образом, поставленному ограничению можно дать такую формулировку: из sihz = 0 при k~^2 должно следовать, что siz = 0. Взяв в этом случае разложение S =
операторы В ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ над С
333
= MS Ф Р, т. е. положив So = MS a Q = P, придем к полуобратному оператору М1~1), для которого ММ{~Х) и М{~1)М равны, именно, равны оператору проектирования на MS параллельно Р.
