Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
dim F = MLT~2. (1)
§ 28. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
159
Соображения размерности можно использовать для проверки правильности полученных ответов при решении физических задач: правые и левые части полученных выражений, как и отдельные слагаемые в каждой из частей, должны иметь одинаковую размерность.
Метод размерностей можно использовать и для вывода формул и уравнений, когда нам известно, от каких физических параметров может зависеть искомая величина. Сущность метода легче всего уяснить на конкретных примерах.
Применения метода размерностей. Рассмотрим задачу, ответ для которой нам хорошо известен: с какой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной скорости с высоты А, если сопротивлением воздуха можно пренебречь? Вместо непосредственного вычисления на основе законов движения будем рассуждать следующим образом.
Подумаем, от чего вообще может зависеть искомая скорость. Очевидно, что она должна зависеть от начальной высоты А и от ускорения свободного падения g. Можно предположить, следуя Аристотелю, что она зависит и от массы т. Поскольку складывать можно только величины одинаковой размерности, то для искомой скорости v можно предложить такую формулу:
v=Chxgymz, (2)
где С — некоторая безразмерная постоянная (числовой коэффициент), а х, у и z — неизвестные числа, которые следует определить.
Размерность правой и левой частей этого равенства должна быть одинакова, и именно этим условием можно воспользоваться для определения показателей степени х, у, z в (2). Размерность скорости v есть L71-1, размерность высоты А есть L, размерность ускорения свободного падения g равна LT~2, и, наконец, размерность массы т равна М. Поскольку постоянная С безразмерна, то формуле
(2) соответствует следующее равенство размерностей:
LT~l = Ьх(ЬТ-гум\ (3)
Это равенство должно выполняться независимо от того, каковы числовые значения A, g и т. Поэтому следует приравнять показатели степеней при L, Т и М в левой и правой частях равенства (3):
L: 1 =х + у, Т: -1 = -2у, М: О = z. (4)
Из этой системы уравнений получаем z = 0, у= 1/2, х = 1/2. Поэтому формула (2) принимает вид
v = ChU2gU2m° = CVgh.
Истинное значение скорости, как известно, равно V2gh, т. е. С = V2.
Итак, использованный подход позволил определить правильно зависимость v от A, g и m и не дал возможности найти значение
160
II. ДИНАМИКА
безразмерной постоянной С. Хотя нам и не удалось получить исчерпывающего ответа, все же получена весьма существенная информация. Например, мы можем с полной определенностью утверждать, что, если начальную высоту h увеличить в четыре раза, скорость в момент падения возрастет вдвое и что вопреки мнению Аристотеля эта скорость не зависит от массы падающего тела.
Выбор параметров. При использовании метода размерностей следует в первую очередь выявить параметры, определяющие рассматриваемое явление. Это легко сделать, если известны описывающие его физические законы. В ряде случаев определяющие явление параметры можно указать и тогда, когда физические законы неизвестны. Как правило, для использования метода анализа размерностей нужно знать меньше, чем для составления уравнений движения.
Если число параметров, определяющих изучаемое явление, больше числа основных единиц, на которых построена выбранная система единиц, то, разумеется, все показатели степеней в предлагаемой формуле для искомой величины не могут быть определены. В этом случае полезно прежде всего определить все независимые безразмерные комбинации из выбранных параметров. Тогда искомая физическая величина будет определяться не формулой типа (2), а произведением какой-либо (самой простой) комбинации параметров, имеющей нужную размерность (т. е. размерность искомой величины), на некоторую функцию найденных безразмерных параметров.
Легко видеть, что в разобранном выше примере падения тела с высоты h из величин h, g и т безразмерную комбинацию составить нельзя. Поэтому там формула (2) исчерпывает все возможные случаи.
Безразмерный параметр. Рассмотрим теперь такую задачу: определим дальность горизонтального полета снаряда, выпущенного в горизонтальном направлении с начальной скоростью v из орудия, находящегося на горе высоты h.
В отсутствие сопротивления воздуха число параметров, от которых может зависеть искомая дальность, равно четырем: h, v, g и т. Поскольку число основных единиц равно трем, то полное решение задачи методом размерностей невозможно. Найдем прежде всего все независимые безразмерные параметры 7, которые можно составить из h, v, g и т:
у : hxvygzmu.
Этому выражению соответствует следующее равенство размерностей:
1 = Lx(LT_1)y(LT_2)2M“.
Отсюда получаем систему уравнений
L: 0 = x + >’+2, Т: 0=—y—2z, М: 0 = и,
