Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
а
тх1^-т212
б
§ 30. ЦЕНТР МАСС. РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ
173
ем масс. Ее естественно определить так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:
т, г, + т, г,
Гс = -^Г’ (1)
Определяемый формулой (1) радиус-вектор центра масс гс представляет собой среднее взвешенное значение радиусов-векторов частиц г, и г2, что очевидно, если переписать (1) в виде
т, т->
с т1 + т2 т1+т2 А
Радиус-вектор каждбй частицы входит в гс с весом, пропорциональным ее массе. Легко видеть, что определяемый формулой (1) центр масс С лежит на отрезке прямой, соединяющей частицы, и делит его в отношении, обратно пропорциональном массам частиц: ljl2 = т2/т1 (рис. 1106).
Обратим внимание на то, что приведенное здесь определение центра масс связано с известным вам условием равновесия рычага. Представим себе, что точечные массы т1 и т2, на которые действует однородное поле тяжести, соединены стержнем пренебрежимо малой массы. Такой рычаг будет в равновесии, если точку его опоры поместить в центр масс С.
Естественным обобщением формулы (1) на случай системы, состоящей из N материальных точек с массами mv, т2, ..., mN и радиусами-векторами гр г2, ..., г^, является равенство
N
2 «л
гс = —-------, (2)
С N ’
2т<
i=i
которое служит определением радиуса-вектора центра масс (или центра инерции) системы.
Скорость центра масс. Центр масс характеризует не только положение, но и движение системы частиц как целого. Скорость
\с центра масс, определяемая равенством \с = drc/dt, как следует
из (2), следующим образом выражается через скорости v( = drjdt образующих систему частиц:
174
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
В числителе правой части этого выражения, как следует из формулы (6) предыдущего параграфа, стоит полный импульс системы Р, а в знаменателе — ее полная масса М. Поэтому импульс системы частиц равен произведению массы всей системы М на скорость ее центра масс
Формула (4) показывает, что импульс системы связан со скоростью ее центра масс точно так же, как импульс отдельной частицы связан со скоростью частицы. Именно в этом смысле движение центра масс и характеризует движение системы как целого.
Закон движения центра масс. Закон изменения импульса системы частиц, выражаемый формулой (9) предыдущего параграфа, по существу представляет собой закон движения ее центра масс. В самом деле, из (4) при неизменной полной массе М системы имеем
что означает, что скорость изменения импульса системы равна произведению ее массы на ускорение центра масс. Сравнивая (5) с формулой (6) § 29, получаем
Согласно (6) центр масс системы движется так, как двигалась бы одна материальная точка массы М под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы. В частности, центр масс замкнутой физической системы, на которую внешние силы не действуют, движется в инерциальной системе отсчета равномерно и прямолинейно либо покоится.
Представление о центре масс в ряде случаев позволяет получить ответы на некоторые вопросы еще проще, чем при непосредственном использовании закона сохранения импульса. Рассмотрим следующий пример.
Космонавт вне корабля. Космонавт массы ти неподвижный относительно космического корабля массы т2 с выключенным двигателем, начинает подтягиваться к кораблю с помощью легкого страховочного фала. Какие расстояния пройдут космонавт и корабль до встречи, если первоначально расстояние между ними равно Р.
Центр масс корабля и космонавта находится на соединяющей их прямой, причем соответствующие расстояния 1У и 12 обратно пропорциональны массам тх и т2. Так как lY + 12 = / и ll/l2=.m2/ml, то
(4)
( = i
(6)
§ 30. ЦЕНТР МАСС. РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ
175
сразу получаем
тт,
L=l—12=1—г5—. (7)
1 т, + т,’ 2 m,+tn- ^ >
В далеком космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс этой замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В той системе отсчета, где он покоится, космонавт и корабль пройдут до встречи расстояния и 12, даваемые формулами (7).
Для справедливости подобных рассуждений принципиально важно использовать инерциальную систему отсчета. Если бы здесь мы опрометчиво связали систему отсчета с космическим кораблем, то пришли бы к заключению, что при подтягивании космонавта центр масс системы приходит в движение в отсутствие внешних сил: он приближается к кораблю. Центр масс сохраняет свою скорость только относительно инерциальной системы отсчета.
В уравнение (6), определяющее ускорение центра масс системы частиц, не входят действующие в ней внутренние силы. Значит ли это, что внутренние силы вообще никак не влияют на движение центра масс? В отсутствие внешних сил или когда эти силы постоянны, это действительно так. Например, в однородном поле тяжести центр масс разорвавшегося в полете снаряда продолжает движение по той же параболе, пока ни один из осколков еще не упал на землю.
