Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2S. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
161
которая дает и = О, у = —2z, х = z, и для искомого безразмерного параметра получаем
Видно, что единственный независимый безразмерный параметр в рассматриваемой задаче — это v2/gh. Теперь достаточно найти какой-либо параметр, имеющий размерность длины, например взять сам параметр h, для того чтобы написать общее выражение для дальности s полета снаряда по горизонтали в виде
где / — пока неизвестная функция безразмерного параметра v2/gh. Метод размерностей (в изложенном варианте) не позволяет определить эту функцию. Но если нам откуда-нибудь, например из опыта, известно, что искомая дальность пропорциональна горизонтальной скорости снаряда, то вид функции / немедленно определяется: скорость v должна входить в нее в первой степени, т. е.
Подчеркнем, что при таком способе определения вида функции / нам достаточно знать характер экспериментально установленной зависимости дальности полета не от всех параметров, а только от ка-кого-нибудь одного из них.
Векторные единицы длины. Но можно определить дальность (7) только из соображений размерности, если увеличить до четырех число основных единиц, через которые выражаются параметры h, v, g и т. До сих пор при записи формул размерностей не делалось различий между единицами длины в горизонтальном и вертикальном направлении. Однако такое различие можно ввести, основываясь на том, что сила тяжести действует только по вертикали.
Обозначим размерность длины в горизонтальном направлении через Lr, а по вертикали — через Ьв. Тогда размерность дальности s полета по горизонтали будет Lr, размерность высоты h будет LB, размерность горизонтальной скорости v будет LrT-1, а для ускорения свобод-
(5)
(6)
Теперь из (5) для дальности s полета снаряда получаем
(7)
что при С = т/2 совпадает с правильным ответом
162
II. ДИНАМИКА
ного падения g получим ЬвТ~г. Теперь, глядя на формулу (5), мы видим, что единственный способ получить правильную размерность LT в правой части заключается в том, чтобы считать f(v2/gh) пропорциональной v. Мы снова приходим к формуле (7).
Разумеется, имея четыре основные единицы Lr, LB, Т и М, можно и непосредственно сконструировать величину нужной размерности из четырех параметров h, v, g и m:
s = Chxvy gzmu.
Равенство размерностей левой и правой частей имеет вид
Lx = Lx(LrT~l)y(LBT~2)zMu. (8)
Система уравнений для х, у, z и и дает значения и = О, у=1, z = —1/2, х — 1/2, и мы опять приходим к формуле (7).
Используемые здесь разные единицы длины по взаимно перпендикулярным направлениям иногда называют векторными единицами длины. Их применение существенно расширяет возможности метода анализа размерностей.
При использовании метода анализа размерностей полезно развить навыки до такой степени, чтобы не составлять систему уравнений для показателей степеней в искомой формуле, а подбирать их непосредственно. Проиллюстрируем это на следующей задаче.
Задача
Максимальная дальность. Под каким углом к горизонту следует бросить камень, чтобы дальность полета по горизонтали была максимальной?
Решение. Допустим, что мы «забыли» все формулы кинематики, и попытаемся получить ответ из соображений размерности. На первый взгляд может показаться, что метод размерностей здесь вообще неприменим, так как в ответ должна войти какая-то тригонометрическая функция угла бросания. Поэтому вместо самого угла а попробуем искать выражение для дальности s. Ясно, что без векторных единиц длины здесь не обойтись.
Выпишем параметры, от которых может зависеть дальность s. Очевидно, это горизонтальная составляющая начальной скорости иг, размерность которой LrT_1, вертикальная составляющая ив с размерностью ус-
корение свободного падения g(LBT~2) и, возможно, масса т с размерностью М. Размерность искомой дальности s — это Lr, поэтому сразу ясно, что масса т в ответ входить не может, так как М отсутствует в размерности всех остальных параметров и ей не с чем сократиться. Далее сразу очевидно, что скорость t,'r должна входить в ответ в первой степени, так как Lr отсутствует в размерностях всех параметров, кроме vr. Но теперь в размерности правой части появилось время, которое можно сократить только введением в формулу или vB, или g, или их комбинации. Ясно, что это должна быть непременно комбинация vjg, так как необходимо, чтобы сократилась размерность LB. Размерность комбинации vjg — это
§ 2Я. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
163
Т. Поэтому, учитывая, что в кг время входит в минус первой степени, приходим к формуле
s = С -L-1. g
Поскольку wr = v0 cos a, vB = v0 sin а, получаем следующую зависимость дальности s от угла а:
iii sin a cos a v2 sin 2а
