Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Алгоритм численного решения. В случаях, когда уравнение движения не удается решить аналитически, его можно решать численно. Действующая на материальную точку сила может зависеть от времени явно, от положения точки и от ее скорости: F = F(?, г, v). Пусть
§ 25. МЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
145
нам заданы начальные значения г0 и v0. Уравнение движения а = F/т дает возможность найти ускорение а0 в тот же момент времени t = 0. Зная ускорение, можно приближенно найти изменение скорости за малый промежуток времени At:
Av = а0Д t,
откуда скорость V[ к концу этого промежутка равна
vj = v0 + а0А t. (2)
Зная скорость v0 в начальный момент, можно приближенно найти изменение радиуса-вектора за то же время АI:
Аг = v0A t.
Более точное значение Аг можно получить, если взять вместо v0 среднее значение скорости на этом промежутке, считая ускорение на нем постоянным:
Аг = | Оо + vi)A^-
Отсюда значение радиуса-вектора г к концу промежутка времени At получится в виде
ri = ro + voA? или »'2 = r0+^(v0 + v1)A<, (3)
в зависимости от того, какой из приведенных выше формул для Аг отдать предпочтение.
Выбор промежутка времени At определяется той точностью, которую мы хотим получить при таком приближенном вычислении. Чем меньше промежуток времени At, тем ближе к истинным будут значения Vj и гр вычисляемые по формулам (2) и (3). Найденные значения и Г[ подставляем в выражение для силы F(t, г, v) и с помощью уравнения движения а = F/т находим ускорение aY материальной точки в конце промежутка времени At.
Теперь повторяем описанную процедуру для следующего промежутка времени, причем роль начальных условий будут играть найденные по формулам (2) и (3) значения V[ и
\2 = Vj + ajA t, r2 = ri+ViA? или r2 = г, + I (v, + v2)A<. (4)
Затем все повторяется еще раз и т. д. Если требуется найти изменение механического состояния материальной точки за большой промежуток времени, придется разбить этот промежуток на большое число шагов At. Чем меньше размер каждого шага, тем точнее будет результат. Но необходимое число шагов при этом увеличива-
146
II. ДИНАМИКА
ется. За повышение точности результатов приходится платить увеличением объема вычислений.
Практически такие работы удобно выполнять на ЭВМ. При проведении расчетов имеют дело не с векторами, а с числами. Поэтому каждое из приведенных выше векторных уравнений записывается в виде трех скалярных уравнений, соответствующих проекциям векторного уравнения на оси выбранной системы координат.
Системы взаимодействующих тел. Часто приходится рассматривать механическую систему, состоящую из нескольких взаимодействующих тел. Если известны силы взаимодействия между телами и внешние силы, действующие на каждое из тел, то для нахождения движения всех этих тел приходится решать систему уравнений, состоящую из уравнений движения для каждого тела. Механическое состояние системы частиц определяется заданием положений и скоростей всех частиц в один и тот же момент времени. Уравнения движения позволяют найти изменение этого состояния со временем.
Аналитическое решение задачи о механическом движении системы взаимодействующих тел обычно сопряжено с огромными математическими трудностями. Так, например, до сих пор не решена в общем виде задача о движении всего лишь трех взаимодействующих тел при произвольных начальных условиях. Однако численный расчет движения системы взаимодействующих частиц не содержит ничего принципиально нового по сравнению с расчетом движения одной материальной точки. При приближенном вычислении скорость и радиус-вектор каждой из частиц находятся с помощью той же самой процедуры по формулам (2) —(4), только при определении ускорений частиц в каждый момент времени с помощью уравнений движения в этих уравнениях кроме внешних сил учитываются и силы взаимодействия между частицами.
• Какой смысл вкладывается в понятие механического состояния? Какими величинами определяется механическое состояние материальной точки? системы материальных точек?
• Почему ускорение частицы не входит в число величин, определяющих ее механическое состояние?
• Опишите алгоритм численного расчета механического движения материальной точки.
• Какую роль играют начальные условия при решении уравнений движения?
Д Нахождение сил по движению. Уравнения движения можно использовать для нахождения действующих сил, если известно, как происходит движение тела, т. е. задан его радиус-вектор как функция времени. Примером такой задачи может служить нахождение силы притяжения планеты к Солнцу по известному из
§ 25. МЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
147
астрономических наблюдений закону обращения этой планеты по эллиптической орбите вокруг Солнца. Именно так был установлен закон обратных квадратов для силы тяготения.
Другой пример — движение точки по эллипсу, описываемое уравнениями
