Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Закон Гука. Опыт показывает, что почти у всех твердых тел при малых упругих деформациях величина деформации пропорциональна вызывающей ее силе. Это утверждение носит название закона Гука. При больших деформациях связь между деформациями и силами перестает быть линейной, а затем и вообще становится неоднозначной, т. е. деформация зависит от предыстории. Деформация становится пластической. При этом тело остается деформированным хотя бы частично и после прекращения действия внешних сил.
Таким образом, будет ли деформация упругой или пластической, зависит не только от материала тела, но и от того, насколько велики приложенные силы. Упругие деформации используются всюду, начиная от различного типа амортизационных устройств (рессор, пружин и т. д.) и кончая тончайшими измерительными приборами. На пластической деформации основаны различные способы холодной обработки металлов (штамповка, ковка, прокатка и т. д.).
Остановимся подробнее на законе Гука, описывающем малые упругие деформации в рамках феноменологического подхода. Этот закон справедлив для различных видов упругой деформации: растяжения {сжатия), сдвига, кручения, изгиба.
Деформация растяжения (сжатия) стержня характеризуется абсолютным удлинением А/ = | / — /0|, где /0 — длина стержня в неде-формированном состоянии, и относительным удлинением е = А1/10. Опыт показывает, что удлинение стержня пропорционально вызывающей его силе F:
F = kAl. (1)
§ 24. СИЛЫ УПРУГОСТИ И ДЕФОРМАЦИИ
141
Коэффициент пропорциональности к в этой формуле называют жесткостью стержня. Он зависит как от упругих свойств материала, так и от размеров деформируемого стержня.
Модуль Юнга. Для любых упругих деформаций можно ввести постоянные, характеризующие упругие свойства только материала, не зависящие от размеров тела. Для изотропного тела существуют две независимые характеристики упругих свойств — модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Введем их на примере деформации растяжения.
Рассмотрим однородную деформацию, возникающую в стержне с одинаковым по всей длине поперечным сечением под действием приложенной к его концу силы F. Удлинение А/, как показывает опыт, пропорционально его первоначальной длине /0. Поэтому относительное удлинение г = A l/lQ уже не зависит от длины стержня. Но эта величина еще зависит от поперечного сечения стержня. Опыт показывает, что удлинение под действием заданной силы обратно пропорционально площади 5 поперечного сечения стержня. Поэтому если вместо силы F ввести механическое напряжение F/S, то при заданном напряжении относительное удлинение уже не зависит от поперечного сечения, т. е. определяется только упругими свойствами материала:
Величина Е называется модулем Юнга материала. Из формулы (2) видно, что модуль Юнга равен тому механическому напряжению, при котором относительное удлинение А///0 равно единице, если, конечно, считать, что при таких напряжениях деформация остается упругой. В рамках используемого феноменологического подхода значение модуля Юнга определяется на опыте. Например, для стали Е = 22-Ю10 Н/м2. Такое напряжение превышает не только предел упругости, когда деформация перестает быть упругой, но и предел прочности, когда происходит разрушение деформируемого тела.
Задача
Жесткость стержня. Выразите жесткость к упругого стержня через его размеры и модуль Юнга материала.
Решение. Для получения ответа достаточно сопоставить формулу
(1), определяющую жесткость стержня к, и формулу (2), выражающую относительное удлинение стержня через механическое напряжение F/S и модуль Юнга Е. В результате получим
ES
142
II. ДИНАМИКА
Жесткость стержня пропорциональна площади поперечного сечения, не зависит от формы этого сечения и обратно пропорциональна длине стержня.
Д Коэффициент Пуассона. Опыт показывает, что при растяжении стержня уменьшаются его поперечные размеры. Это уменьшение можно характеризовать относительным поперечным сжатием |Дс?|/с?0, где d — поперечный линейный размер стержня (диаметр, толщина и т. п.). Отношение относительного поперечного сжатия стержня к его относительному удлинению при упругой деформации не зависит как от приложенного напряжения, так и от размеров стержня. Оно называется коэффициентом Пуассона. Для многих веществ значение этой безразмерной величины близко к 0,3.
Всестороннее сжатие. При всестороннем (гидростатическом) сжатии тела относительное уменьшение его объема пропорционально вызывающему это сжатие изотропному давлению р:
Дv_p_ (3)
V к’
где не зависящий от размеров и формы тела коэффициент к называется модулем всестороннего сжатия. Он связан с модулем Юнга и коэффициентом Пуассона для данного материала соотношением
3(1 -2ц)-
к =
Задача для самостоятельного решения
