Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Докажите формулу (4), рассматривая малое всестороннее сжатие кубика как суперпозицию одинаковых деформаций одностороннего сжатия по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Неоднородная деформация. Аналогично деформации растяжения могут быть рассмотрены и малые упругие деформации других видов. Например, при деформации изгиба балки, лежащей на двух опорах, ее прогиб пропорционален приложенной силе (рис. 101). Коэффициент пропорциональности выражается через модуль Юнга материала балки, поскольку при изгибе нижняя сторона балки испытывает деформацию растяжения, а верхняя — сжатия. Эта деформация неоднородная, так как разные части балки деформированы в разной степени. Элементы, расположенные вдоль штриховой линии (рис. 101), практически совсем не
Рис. 101. Изгиб балки, лежащей на двух опорах
§ 25. МЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ 143
деформированы. Благодаря этому обстоятельству коэффициент пропорциональности между прогибом и силой зависит не только от размеров балки, но и от формы ее поперечного сечения. Жесткость двутавровой балки на изгиб оказывается почти такой же, как и у бруска таких же габаритов, хотя масса ее значительно меньше. Такой же принцип использован природой при выборе трубчатого строения костей позвоночных.
Проявления упругих сил. Силы упругости фигурировали в роли сил реакции опоры во всех рассмотренных выше примерах движения при наличии связей. При этом всегда использовалась идеализированная модель упругих тел, в которой жесткость считалась очень большой (строго говоря, бесконечно большой): несмотря на наличие упругих сил реакции, деформация тел считалась настолько малой, что ею можно было пренебречь.
Силы упругости играют важную роль в вопросах механического равновесия, когда в реальных условиях модель недеформи-руемого твердого тела оказывается недостаточной. Замечательная особенность упругих сил заключается также в том, что они служат наиболее распространенной причиной возникновения механических колебаний. Дело в том, что при упругой деформации возникающие силы всегда стремятся вернуть тело в положение равновесия. Если тело выведено из равновесия и предоставлено самому себе, под действием упругих сил возникает его движение к положению равновесия. Благодаря инерции тело проскакивает это положение, возникает деформация противоположного знака, и весь процесс повторяется.
• Объясните, почему жесткость двутавровой балки на изгиб почти такая же, как у бруска тех же габаритов из такого же материала.
• Какой вид деформации имеет место в материале проволоки, из которой навита пружина школьного динамометра? ^
§ 25. Механическое состояние. Уравнение движения
При движении материальной точки изменяются со временем ее положение в пространстве, определяемое радиусом-вектором г, ее скорость v, ускорение а. Говорят, что происходит изменение состояния материальной точки со временем. Что же понимают под механическим состоянием и какими параметрами оно определяется?
Механическое состояние материальной точки в некоторый момент времени определено, если для этого момента времени заданы ее радиус-вектор и скорость. Если известно механическое состояние материальной точки в какой-либо момент времени и действующие на нее силы, то с помощью второго закона Ньютона можно опреде-
144
II. ДИНАМИКА
лить ее механическое состояние в последующие моменты времени, т. е. полностью предсказать ее движение. Именно по этой причине второй закон Ньютона часто называют уравнением движения, ибо он описывает эволюцию начального состояния механической системы во времени.
Уравнение движения. Остановимся подробнее на вопросе определения механического состояния в произвольный момент времени. Второй закон Ньютона, или уравнение движения а = F/т, позволяет при известных силах найти ускорение материальной точки. Но знание ускорения дает возможность определить только изменение скорости за некоторый промежуток времени. Чтобы найти само значение скорости к концу этого промежутка, нужно знать не только изменение скорости, но и ее значение в начальный момент. Аналогично, знание скорости позволяет найти изменение положения материальной точки за некоторое время. Чтобы найти сам радиус-вектор, нужно знать его значение в начальный момент.
Например, в случае движения под действием постоянной силы, когда ускорение также постоянно, скорость и радиус-вектор материальной точки в момент времени t определяются формулами
v(0=v0 + af, г(0 = r0 + v0f + (1)
где v0 и г0 — скорость и радиус-вектор в начальный момент времени t = 0. Уравнение движения дает возможность найти v(?) и г(t) только тогда, когда известно начальное состояние системы, т. е. величины v0 и г0.
Начальные условия. Задание начальных условий для нахождения v(?) и г(t) необходимо и в том случае, когда действующие силы таковы, что ускорение не остается постоянным. При этом в некоторых случаях уравнение движения удается решить (проинтегрировать) аналитически, т. е. найти v(?) и г(?) как функции времени, которые также будут содержать начальные значения v0 и г0. В качестве примеров таких случаев можно указать движение материальной точки под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от центра силового поля (движение планеты под действием притяжения к Солнцу, движение спутника Земли, движение альфа-частицы в поле атомного ядра), движение под действием силы, пропорциональной смещению от положения равновесия (тело на пружине), и т. д.
