Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Считая, что Луна движется вокруг Земли по круговой орбите радиуса г, и применяя второй закон Ньютона к ее движению под действием силы притяжения к Земле, получаем, аналогично (5), для скорости Луны
vh = 8T- (7)
Скорость 1>л связана с радиусом г орбиты Луны и периодом обращения Т соотношением ил = 2лr/Т. Подставляя ил в (7), находим
r~(ISF) =з-8з1о5км’ <8)
2. Плотность солнечного вещества. Зная радиус Солнца
Rc = 6,96- 10s км, радиус земной орбиты г= 1,5108км и период обращения Земли вокруг Солнца Т = 1 год, найдите среднюю плотность солнечного вещества. Найдите также минимально возможный период обращения спутника Солнца.
Решение. Применяя второй закон Ньютона к движению Земли по круговой орбите вокруг Солнца, аналогично (4) получаем
М~
v2 = G —-,
Г
где Мс — масса Солнца. Подставляя сюда значение скорости v = 2пг/Т, для массы Солнца находим
ж г _
С - -QfT-
Отсюда для средней плотности р солнечного вещества получаем
мс _ Злг1 — !,4 г/см3. (9)
^ (4/3)aR3c CT2R3c
Минимальный период обращения был бы у спутника Солнца, обращающегося по орбите, стелющейся над его поверхностью, так как именно у такого спутника длина орбиты наименьшая, а скорость наибольшая. Это ясно и непосредственно из третьего закона Кеплера. Искомый минимальный период можно выразить через среднюю плотность солнечного вещества прямо из формулы (9), положив в ней г = Rc:
136
II. ДИНАМИКА
что составляет менее трех часов. Обратим внимание на то, что период обращения спутника по стелющейся орбите зависит только от средней плотности вещества, из которого состоит центральное притягивающее тело, и не зависит от его размеров.
Кеплерово движение. Круговое движение под действием ньютоновской силы притяжения представляет собой частный случай так называемого кеплерова движения, описываемого законами Кеплера. Чтобы спутник, поднятый на некоторую высоту, двигался по круговой орбите, ему нужно сообщить вполне определенную горизонтальную скорость. Если в какой-либо точке сообщить спутнику горизонтальную скорость, несколько большую круговой, он будет двигаться по эллиптической орбите, у которой данная точка будет перигеем, т. е. ближайшей к Земле точкой орбиты, а наиболее удаленная точка — апогей — будет лежать на противоположном конце прямой,
v
Рис. 95. Круговая и эллиптические ор- Рис- 96. Эллиптическая орбита в слу-
биты при разных значениях начальной чае начальной скорости, меньшей
скорости круговой
проведенной из перигея через фокус эллипса, в котором находится центр Земли (рис. 95). Перигей и апогей находятся на противоположных концах большой оси эллипса.
Если же спутнику сообщить горизонтальную скорость, меньшую круговой, то он будет двигаться по эллиптической орбите, у которой начальная точка будет не перигеем, а апогеем, и, следовательно, центр Земли будет расположен в дальнем от нее фокусе эллипса (рис. 96). Периодическое движение по такой орбите возможно, разумеется, лишь тогда, когда она не пересекает поверхности Земли.
Существование замкнутых орбит — это замечательная особенность поля, в котором сила изменяется по закону обратных квадратов. Закономерности движения по эллиптическим орбитам будут подробнее рассмотрены после изучения законов сохранения.
§ 23. ДВИЖЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
137
Кроме замкнутых орбит в ньютоновском поле тяготения возможно движение по незамкнутым орбитам, когда тело приближается из бесконечности и, изменив направление движения под действием силы тяготения, снова уходит в бесконечность. Траектория в этом случае представляет собой гиперболу. Траектория, отделяющая замкнутые орбиты от незамкнутых, представляет собой параболу (эта парабола не имеет никакого отношения к параболе, по которой движется брошенное тело в приближении «плоской Земли»),
Конические сечения. Любое движение в поле тяготения как по замкнутым, так и по незамкнутым траекториям происходит по одному из так называемых конических сечений — кривых, которые
получаются при пересечении кругового конуса с плоскостью (рис. 97). В зависимости от наклона плоскости к оси конуса могут получиться окружность, эллипс, парабола и гипербола.
Незамкнутые траектории возможны не только тогда, когда тело приходит из бесконечности, но и тогда, когда ему сообщают достаточно большую начальную скорость в точке, находящейся на конечном расстоянии. Этот вопрос будет рассмотрен подробнее после изучения законов сохранения.
Сила тяжести внутри Земли. Закон обратных квадратов справедлив для поля тяготения, создаваемого точечной массой или шарообразным телом вне его пределов. Внутри шара поле тяготения будет совсем другим. Каким же именно? Будем, например, считать, что Земля представляет собой сплошной однородный шар. Выясним, как действующая на пробное тело сила тяжести зависит от его положения в стволе воображаемой шахты, прорытой от поверхности до центра Земли.
