Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
128
II. ДИНАМИКА
его закона Ньютона отсюда можно сделать вывод, что второй шар действует с одной и той же силой F12 как на первый шар, так и на заменяющую его материальную точку тг Эту силу легко найти, учитывая, что создаваемое вторым шаром гравитационное поле в
Отг
Л F12 F21 /""Ч
Щ О-------->
р2,
mj©---------> ------©m2
в
Рис. 92. Сферические тела притягиваются друг к другу так, как если бы их массы были сосредоточены в их центрах
том месте, где находится первый шар, неотличимо от поля точечной массы т2, помещенной в его центр (рис. 92б). Таким образом, сила притяжения шаров совпадает с силой притяжения двух точечных масс т1 и т2, расстояние между которыми равно расстоянию между центрами шаров.
Из этого примера наглядно видна практическая ценность концепции гравитационного поля. В самом деле, было бы очень неудобно описывать силу, действующую на один из шаров, как векторную сумму сил, действующих на отдельные его элементы, учитывая при этом, что каждая из этих сил, в свою очередь, представляет собой векторную сумму сил взаимодействия этого элемента со всеми элементами, на которые мы должны мысленно разбить и второй шар. Обратим внимание еще и на то, что в процессе приведенного доказательства мы поочередно рассматривали в качестве источника гравитационного поля то один шар, то другой, в зависимости от того, интересовала ли нас сила, действующая на тот или на другой шар.
Теперь очевидно, что на любое находящееся вблизи поверхности Земли тело массы т, линейные размеры которого малы по сравнению с радиусом Земли, действует сила тяжести F, которая в соответствии с (5) может быть записана как F = mg. Значение модуля напряженности g гравитационного поля Земли дается выражением (6), в котором под М следует понимать массу земного шара, а вместо г следует подставить радиус Земли R:
тМ /п\
§ гг. силы тяготения
129
Для применимости формулы (7) необязательно Землю считать однородным шаром, достаточно, чтобы распределение масс было сферически-симметричным.
Свободное падение. Если тело вблизи поверхности Земли движется только под действием силы тяжести F, т. е. свободно падает, то его ускорение g согласно второму закону Ньютона равно F/т. Видно, что оно направлено к центру Земли и в соответствии с (7) по модулю равно
^ = (8)
Но правая часть (8) дает значение напряженности гравитационного поля Земли вблизи ее поверхности. Итак, напряженность гравитационного поля и ускорение свободного падения в этом поле — это одно и то же. Именно поэтому мы сразу обозначили эти величины одной буквой g.
Взвешивание Земли. Остановимся теперь на вопросе об экспериментальном определении значения гравитационной постоянной G. Прежде всего отметим, что его нельзя найти из астрономических наблюдений. Действительно, из наблюдений за движением планет можно найти только произведение гравитационной постоянной на массу Солнца. Из наблюдений за движением Луны, искусственных спутников Земли или за свободным падением тел вблизи земной поверхности можно найти только произведение гравитационной постоянной на массу Земли. Для определения G необходимо иметь возможность независимо измерить массу источника гравитационного поля. Это можно сделать только в опыте, производимом в лабораторных условиях.
Такой опыт был впервые выполнен Генри Кавендишем в 1798 г. с помощью крутильных весов, к концам коромысла которых были прикреплены небольшие свинцовые шары (рис. 93). Вблизи от них закреплялись большие тяжелые шары. Под действием сил притяжения малых шаров к большим коромысло крутильных весов немного поворачивалось, и по закручиванию упругой нити подвеса измерялась сила. Для интерпретации этого опыта важно знать, что шары взаимодействуют так же, как и соответствующие материальные точки ТаКой же массы, ибо здесь в отличие от планет размеры шаров Нельзя считать малыми по сравнению с расстоянием между ними.
И- Бутиков и др. Книга 1
130
II. ДИНАМИКА
В своих опытах Кавендиш получил значение гравитационной постоянной G, всего на 1 % отличающееся от принятого в настоящее время. В современных модификациях опыта Кавендиша производится измерение ускорений, сообщаемых малым шарам на коромысле гравитационным полем тяжелых шаров, что позволяет повысить точность измерений. Знание гравитационной постоянной позволяет определить массы Земли, Солнца и других источников тяготения по наблюдениям за движением тел в создаваемых ими гравитационных полях. В этом смысле опыт Кавендиша иногда образно называют взвешиванием Земли.
Всемирное тяготение описывается очень простым законом, который, как мы видели, легко устанавливается на основе законов Кеплера. В чем же величие открытия Ньютона? В нем нашла воплощение идея о том, что падение яблока на Землю и движение Луны вокруг Земли, которое тоже в известном смысле представляет собой падение на Землю, имеют общую причину. В те далекие времена это была удивительная мысль, поскольку общая мудрость гласила, что небесные тела движутся по своим «совершенным» законам, а земные объекты подчиняются «мирским» правилам. Ньютон пришел к мысли о том, что единые законы природы справедливы для всей Вселенной.
