Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
.*(/) = A cos со/, y(f) = В sin со/, z(/) = 0. (5)
В том, что траектория такого движения действительно представляет собой эллипс, можно убедиться, исключив время из этих уравнений. Разделив первое из этих уравнений на А, а второе на В, возводя их в квадрат и складывая, получим, учитывая тождество cos2 а + sin2 а = 1, следующую связь между х и у:
Это уравнение эллипса (рис. 102) с полуосями А и В, которое в частном случае А = В превращается в уравнение окружности.
Легко убедиться, что материальная точка движется по этому эллипсу в направлении против часовой стрелки, причем так, что ее радиус-вектор поворачивается с постоянной угловой скоростью со.
Для нахождения силы, вызывающей такое движение, нужно с помощью формул (5) определить ускорение частицы. Дифференцируя уравнения (5) по времени, находим проекции скорости на оси координат:
vx — —Аи> sin со/, vy — В со cos со/, vz - 0. (7)
Дифференцируя по времени соотношения (7), получаем проекции ускорения:
ах = — Лео2 cos со/, ау = — Вш2 sin со/, az = 0. (8)
148
II. ДИНАМИКА
Используя второй закон Ньютона и уравнения (8), получаем проекции силы, действующей на материальную точку массы т:
Fx = — тш2А cos о>t,
F = —тш2В sin со/, F = О
(9)
Сравнивая (9) с (5), видим, что выражения для проекций силы можно записать в виде
-тш2х, Fy = —тагу.
(10)
Эти соотношения дают искомую зависимость действующей на частицу силы от ее координат. В векторном виде их можно записать следующим образом:
F = — тш2г. (11)
Сила F в каждой точке направлена к началу координат и пропорциональна расстоянию г до находящегося там центра силового поля (см. рис. 102). Такую зависимость силы от положения можно реализовать, например, с помощью двух пар одинаковых пружин (рис. 103). Чтобы движение тела происходило именно по уравнениям (5), начальные условия должны быть вполне определенными: из (5) следует, что при t = 0 должно быть *0 = А,
Рис. 103. При смещении шарика из положения равновесия действующая со стороны пружин сила направлена к этому положению равновесия и пропорциональна смещению
Рис. 104. Изотропный осциллятор (три пары взаимно перпендикулярных пружин)
у0 = 0, z0 = 0, а из уравнений (7) — что vx0 = 0, vy0 = Ba>, vz0 = 0. Такое начальное состояние можно осуществить, оттянув шарик в направлении оси л: на расстояние А и толчком сообщив ему начальную скорость Вш вдоль оси у. При этом оси х и у направлены вдоль недеформированных взаимно перпендикулярных
§ 25. МЕХАНИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ 149
пружин, а ось z перпендикулярна плоскости, в которой они расположены.
В действительности оказывается, однако, что взаимно перпендикулярные оси х и у могут быть в плоскости пружин ориентированы произвольным образом. Более того, если к этим двум парам пружин добавить еще такую же пару, расположенную перпендикулярно плоскости, в которой они лежат (рис. 104), то в такой системе выбор направления всех трех осей х, у, z совершенно произволен. По своим механическим свойствам система оказывается изотропной. При любых начальных условиях траектория шарика будет плоской. Ориентация этой плоскости определяется векторами г0 и v0 начального смещения и начальной скорости.
Разные движения по эллипсам. Хотя движение тела под действием силы (11), пропорциональной смещению из положения равновесия, как и движение планет вокруг Солнца, происходит по эллиптической траектории, характер этих движений совершенно различен. Движение планеты происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до Солнца, расположенного в одном из фокусов эллипса (рис. 105), в то время как в рассмотренном выше примере шарика на пружинах силовой центр совпадает с центром эллипса. Различие в характере движений становится особенно отчетливым, если вспомнить, что
Рис. 105. При движении планеты вокруг Солнца скорость в афелии (А) меньше, чем в перигелии (П)
скорости планеты в афелии и перигелии, т. е. на концах большой полуоси эллипса, различны (рис. 105), в то время как у шарика на пружинах скорости и, и о2 в соответствующих точках орбиты одинаковы (см. рис. 102).
Отметим, что в случае движения при наложенных связях механическое состояние определяется заданием значений обобщенных координат и значений скоростей их изменения (обобщенных
150
II. ДИНАМИКА
скоростей) в один и тот же момент времени. Таким образом, число параметров, определяющих механическое состояние системы, в два раза больше числа ее степеней свободы. Так, при движении точки по заданной окружности, ее механическое состояние определяется всего двумя величинами, например углом *р и угловой скоростью ш = ф.
• Как показать, что радиус-вектор частицы, движение которой описывается уравнениями (5), поворачивается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью?
• Докажите, что формулы (10), связывающие проекции силы с координатами шарика, подвешенного на двух парах одинаковых пружин, справедливы при произвольной ориентации осей х и у в плоскости пружин (т. е. оси не обязательно направлять вдоль пружин).
