Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
АР; = F; Atr
Полное изменение импульса за весь рассматриваемый промежуток времени равно векторной сумме изменений импульса Ар; за все промежутки Att:
др = т\- т\0 = ^ Ар. = ^ F; А/..
i i
Если воспользоваться понятием производной, то вместо (2), очевидно, закон изменения импульса частицы записывается как
166
III. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Импульс силы. Изменение импульса за конечный промежуток времени от 0 до ( выражается интегралом
t
Ар = mv — т\0 = ^ F(?) dt. (5)
о
Величина, стоящая в правой части (3) или (5), называется импульсом силы. Таким образом, изменение импульса Др материальной точки за промежуток времени Д? равно импульсу силы, действовавшей на него в течение этого промежутка времени.
Равенства (2) и (4) представляют собой в сущности другую формулировку второго закона Ньютона. Именно в таком виде этот закон и был сформулирован самим Ньютоном.
Физический смысл понятия импульса тесно связан с имеющимся у каждого из нас интуитивным или почерпнутым из повседневного опыта представлением о том, легко ли остановить движущееся тело.
Значение здесь имеют не скорость или масса останавливаемого тела,
а то и другое вместе, т. е. именно его импульс.
Импульс системы. Понятие импульса становится особенно содержательным, когда оно применяется к системе взаимодействующих материальных точек. Полным импульсом Р системы частиц называется векторная сумма импульсов отдельных частиц в один и тот же момент времени:
N N
р = 2р< = 2 miyr (6)
/-1 t-i
Здесь суммирование выполняется по всем входящим в систему частицам, так что число слагаемых равно числу N частиц системы.
Внутренние и внешние силы. К закону сохранения импульса системы взаимодействующих частиц легко прийти непосредственно из второго и третьего законов Ньютона. Силы, действующие на каждую из N входящих в систему частиц, разобьем на две группы: внутренние и внешние. Внутренняя сила Fik — это сила, с которой к-я частица действует на /-ю. Внешняя сила F,- — это сила, с которой действуют на i-ю частицу все тела, не входящие в состав рассматриваемой системы.
Закон изменения импульса г-й частицы в соответствии с (2) или (4) имеет вид
^ = F< + 2F/t (г = 1- 2- Ю- (7)
к
Сложим почленно уравнения (7) для всех частиц системы. Тогда в левой части, как следует из (6), получим скорость изменения пол-
§ 29. ИМПУЛЬС. ИМПУЛЬС СИЛЫ
167
ного импульса системы dP/dt. Поскольку внутренние силы F(4 взаимодействия между частицами удовлетворяют третьему закону Ньютона:
Р,к = -*и’ (8)
то при сложении уравнений (7) в правой части, где внутренние силы встречаются только парами Fik + Fki, их сумма обратится в нуль. В результате получим
g = 2F, (9)
i
Скорость изменения полного импульса равна сумме внешних сил, действующих на все частицы.
Обратим внимание на то, что равенство (9) имеет такой же вид, как и закон изменения импульса одной материальной точки, причем в правую часть входят только внешние силы. В замкнутой системе, где внешние силы отсутствуют, полный импульс Р системы не изменяется независимо от того, какие внутренние силы действуют между частицами.
Полный импульс не меняется и в том случае, когда действующие на систему внешние силы в сумме равны нулю. Может оказаться,
что сумма внешних сил равна нулю только вдоль какого-то направ-
ления. Хотя физическая система в этом случае и не является замкнутой, составляющая полного импульса вдоль этого направления, как следует из формулы (9), остается неизменной.
Уравнение (9) характеризует систему материальных точек в целом, но относится к определенному моменту времени. Из него легко получить закон изменения импульса системы за конечный промежуток времени At. Если действующие внешние силы неизменны в течение этого промежутка, то из (9) следует
Ар = 2р/ д/. (Ю)
/
Если внешние силы изменяются со временем, то в правой части (10) будет стоять сумма интегралов по времени от каждой из внешних сил:
АР = Е S F; dt-
i О
Таким образом, изменение полного импульса системы взаимодействующих частиц за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов внешних сил за этот промежуток.
Сравнение с динамическим подходом. Сравним подходы к решению механических задач на основе уравнений динамики и на основе закона сохранения импульса на следующем простом примере. Спу-