Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 8.1. На элемент каната А/со Рис. 8.2. К вычислению нор-стороны соседних участков дейст- мальной силы реакции ДN вуют силы, равные по модулю Т и Т+ДТ
поверхности тумбы на концах выделенного участка. Интересующее нас различие модулей этих сил АТ обусловлено действием на этот элемент силы трения скольжения AFrv. Равнодействующая сил натяжения имеет также составляющую, направленную по радиусу к центру тумбы. Эта составляющая уравновешивается нормальной к элементу А/ силой реакции тумбы AN. Как видно из построения на рис. 8.2, в котором учтено, что для малого элемента витка АI отношение А77Т<С1, модуль силы AN приближенно равен
AN&T Да. (1)
Модуль силы трения скольжения AFTp связан с модулем нормальной силы реакции AN, как обычно, соотношением
AF^AN. (2)
Подставляя сюда AN из формулы (1) и учитывая, что AFTp = = АТ, получаем
AT=[iTAa. (3)
Будем теперь рассматривать силу натяжения каната Т как функцию угла а. Тогда, переходя в выражении (3) к пределу при Аа->0 и учитывая, что предел отношения
142
III. СТАТИКА
AT/Aa при Aa-yQ есть T'(a) — производная от функции Т(а) но а, получим дифференциальное уравнение
T'(a)=tiT(a). (4)
Такое уравнение, в котором производная от искомой функции пропорциональна самой функции, как известно из школьного курса математики, имеет решение
Т (ос) — Се^а. (5)
Как видно из самого решения, постоянная С имеет смысл силы натяжения каната Т„ при а=0, т. е. усилия, приложенного к свободному концу каната. Поэтому
Т (а) — Тйе^а. (6)
Из этого выражения видно, что отношение силы натяжения Т(а1) на одном конце каната (т. е. при а—а,) к силе натяжения Та на другом конце, равное ет>, не зависит ни от диаметра, ни от толщины каната, а определяется только коэффициентом трения |а и числом оборотов п=а1/2л.
Экспонен ци ал ьн а я фу нк ци я
?ЦСС! _ ?2ЯЦЛ
растет очень быстро. При целых п это просто геометрическая прогрессия со знаменателем е2л>1. Например, даже при ju,, равном всего 0,1, после одного оборота (п=1) сила натяжения каната возрастает в е2я!1л;е0,63л;1,87 раза, а после трех оборотов — в е2я>*'3«6,55 раза.
Следует отметить, что описанный способ преобразования силы является существенно необратимым, в отличие от простых механизмов, таких как рычаг, ворот, тали и т. п. Поэтому таким способом можно только останавливать или удерживать корабль, но нельзя, например, подтягивать его к берегу. Однако если привести тумбу во вращение с помощью двигателя, то описанным способом можно подтягивать корабль к берегу. Лебедки, в которых используется этот принцип (кабестаны), широко распространены во флоте. ^
IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
Основной закон гидростатики — это закон Паскаля, согласно которому в состоянии равновесия давление р в жидкости (или газе) не зависит от ориентации площадки, на которую оно действует.
Если несжимаемая жидкость находится в однородном поле тяжести, то гидростатическое давление на глубине h равно pgh, где р — плотность жидкости. Наличие обусловленного полем тяжести гидростатического давления приводит к тому, что на погруженное в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая сила. Эта сила направлена вертикально вверх, а ее модуль равен весу жидкости, объем которой совпадает с объемом погруженной в жидкость части тела. В этом заключается закон Архимеда.
При стационарном движении жидкости, когда линии тока не меняются со временем и совпадают с траекториями частиц жидкости, через любое поперечное сечение потока в единицу времени проходит одно и то же количество жидкости. Для несжимаемой жидкости это условие выражается уравнением неразрывности:
ti1S1 = t;2S2. П'
где S] и 5г — площади сечений, а ух и у2 — скорости жидкости в этих сечениях.
Если при движении жидкости можно пренебречь силами вязкости, то такую жидкость называют идеальной. Для идеальной жидкости выполняется закон сохранения механической энергии. Математическим выражением этого закона является уравнение Бернулли:
р + pg/i-}-ру2/2 = const. (2)
Сумма слагаемых, фигурирующих в левой части уравнения, имеет одно и то же значение вдоль линии тока. Высота h в любой точке отсчитывается от одного уровня, условно принятого за нулевой.
Пр.! движении твердого тела в жидкости (или газе) на тело действует сила сопротивления. Эта сила зависит от многих параметров, таких, как скорость движения, размеры и форма тела, плотность жидкости, ее вязкость. Относительная роль этих параметров меняется в зависимости от скорости движения тела в жидкости. При небольших скоростях эта сила обусловлена в основном вязкостью жидкости. В этом случае сила сопротивления пропорциональна скорости тела.
