Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Эта задача знаменита тем, что при попытке сразу ответить на поставленные вопросы интуиция часто подводит, так что даже некоторые очень известные физики давали неправильные ответы. А
4. Реакция вытекающей струн. В боковой стенке широкого сосуда имеется отверстие, закрытое пробкой (рис. 4.1). Найти реактивную силу, которая будет стремиться
у////'////
Рис. 4.1. Сосуд с отверстием в боковой стенке
av
------- -L
- -
'////]>////////м 'УЖ/ЛМнД V
Рис. 4.2. Объем освобождающейся части сосуда равен объему вытекающей жидкости
сдвинуть сосуд с места, если вынуть пробку. Площадь сечения отверстия равна S, а высота уровня воды над отверстием равна h.
А Пока отверстие сосуда закрыто пробкой, сила, стремящаяся вытолкнуть пробку, определяется гидростатическим давлением столба воды высотой h и равна pghS.
Если пробку удалить из отверстия, то можно думать, что силы давления воды на стенки сосуда будут взаимно уравновешиваться всюду, за исключением участка, лежащего точно напротив пробки и имеющего ту же площадь S, что и отверстие. Поэтому, казалось бы, реактивная сила, стремящаяся сдвинуть сосуд, должна быть такой же, как и сила гидростатического давления на этот участок, т. е.
F—pghS. (1)
Однако такой вывод был бы слишком поспешным. Ведь все-таки здесь мы имеем дело с движущейся жидкостью,
150
IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
вытекающей струей из отверстия, и совершенно не очевидно, что все можно объяснить гидростатическими закономерностями. И действительно, попробовав провести динамическое рассмотрение, мы получим для реактивной силы другой результат. При динамическом подходе действующую на сосуд реактивную силу нужно приравнять импульсу, уносимому вытекающей струей воды за единицу времени. Вычислим эту силу.
Будем считать, что скорость истечения воды одинакова по всему сечению отверстия. Если воду в сосуде можно считать идеальной жидкостью, то это действительно так и скорость можно найти с помощью закона сохранения механической энергии. В начальном состоянии вода в сосуде неподвижна и ее уровень находится на высоте h над отверстием. Спустя небольшой промежуток времени уровень воды в сосуде немного понизится, так как часть жидкости выйдет из отверстия в виде струи со скоростью v (рис. 4.2). Так как жидкость несжимаема, то объем освободившейся части сосуда AV равен объему вытекшей жидкости. Если сосуд достаточно широкий, то можно считать, что уровень воды в сосуде опускается почти с пулевой скоростью. В этом случае закон сохранения энергии записывается в виде
pAVg/i=pAW/2, (2)
откуда
v2=2gh.
Эта формула была установлена Торричелли.
Теперь можно найти импульс, уносимый водой в единицу времени. Так как масса воды, вытекающей за единицу времени, равна pSu, то уносимый этой массой импульс равен pSu2. Подставляя сюда найденное значение скорости струи, получаем выражение для реактивной силы
F=2pghS. (3)
Найденная из динамического рассмотрения реактивная сила (3) оказывается вдвое больше, чем гидростатическая сила давления на пробку (1).
Какому же результату следует отдать предпочтение? Поскольку при динамическом рассмотрении мы опирались па фундаментальные законы сохранения энергии и импульса, то такой подход является более строгим. И тем не менее результат справедлив далеко не всегда. Бывают случаи, когда правилен как раз ответ (1).
4. РЕАКЦИЯ ВЫТЕКАЮЩЕЙ СТРУИ
151
Все дело здесь в форме струи жидкости, вытекающей из отверстия. Естественно, что эта форма зависит от конструкции отверстия и площадь сечения струи не всегда совпадает с площадью самого отверстия. Например, в случае, показанном на рис. 4.3, где цилиндрическая трубка вставлена внутрь сосуда, частицы жидкости вблизи краев трубки имеют скорости в поперечных направлениях, что приводит к сжатию струи в таком отверстии. Всюду вблизи
стенок сосуда скорость движения жидкости в этом случае пренебрежимо мала и давление на стенки сосуда везде равно гидростатическому. Но это как раз и означает, что для реактивной силы при истечении из такого отверстия справедлив результат (1).
Никакого противоречия с динамическим рассмотрением здесь, разумеется, нет. Поскольку струя в отверстии сжимается, то в формуле (3) под 5 надо понимать не площадь отверстия, а площадь сечения струи, которая для отверстия такой конструкции будет в два раза меньше площади самого отверстия. Подчеркнем, что площадь сечения струи в формуле (3) нужно выбирать в том месте, где струя уже сформировалась и скорости всех частиц жидкости одинаковы по модулю и направлению. Только для такого сечения струи и можно применять законы сохранения энергии и импульса в том виде, в каком они записаны в соотношениях (2) и (3).
