Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Если стержень находится в положении равновесия, то линии, по которым действуют эти три силы, пересекаются в одной точке (точке А). Действительно, рассмотрим точку пересечения линий действия каких-либо двух сил, например ATt и N2, и составим условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно этой точки. Моменты сил Nt
Рис. 3.1. Стержень находится в гладкой полусферической чашке
Рис. 3.2. Силы, действующие на стержень в положении равновесия
130
111. СТАТИКА
и N2 относительно точки пересечения их направлений равны нулю, поэтому и момент третьей силы mg-также должен быть равен нулю, т. е. линия действия силы mg проходит через эту же точку. Этого факта достаточно для нахождения положения равновесия стержня. Из элементарных геометрических соображений легко найти все углы, указанные на
рис. 3.2.
Теперь можно составить уравнение для какой-нибудь тригонометрической функции искомого угла а. Находя из прямоугольного треугольника ABC хорду BC=2Rcosa и учитывая, что точка приложения силы тяжести лежит посредине стержня, получаем
x=2/?cosot—L, (1)
Далее, рассматривая радиус ОС как сумму двух отрезков, на которые его делит линия действия силы тяжести mg, находим
sin (л/2—2ct)+* cos а. (2)
Подставляя (1) в (2), получаем после простых преобразований квадратное уравнение для cos а:
4/? cos2 a—Lcos а—2/?=0. (3)
Поскольку угол а лежит в первой четверти, физический смысл имеет только один корень уравнения (3), ибо второй корень отрицателен:
cos а = (L + VL* + 32/?2)/S/?. (4)
Так как cos а не превышает единицы, то
L + V1J+WR* < 8R, откуда L<2/?.
Смысл этого условия очевиден: если длина стержня 2L превышает удвоенный диаметр чашки, то центр тяжести стержня выходит за край чашки и стержень вываливается из нее. Если L=2R, стержень расположен горизонтально (а=0) и опирается на чашку в одной точке С.
Если стержень слишком короткий, то он соскользнет внутрь чашки. Найдем минимальную длину стержня, при которой еще возможно описанное в условии равновесие, т. е. стержень еще опирается на край чашки своим правым концом (x=L):
2Rcosal=2L. (5)
Предельный угол аь при котором стержень еще не соскальзывает внутрь чашки, одновременно с (5) должен удов-
4. МАЯТНИК С ТРЕНИЕМ
131
летворять также условию равновесия (4). Подставляя (4) в (5), находим для минимальной длины стержня:
L = R /2/3.
Соответствующий этой минимальной длине стержня предельный угол ах удовлетворяет условию
cos ai = 1^2/3.
Итак, если длина стержня удовлетворяет условию R УЩ < L < 2R,
то равновесие возможно, и угол а при равновесии определяется формулой (4). Более детальным исследованием можно показать, что это равновесие устойчиво, если, разумеется, в точке С стержень не опирается о чашку точно своим концом.
Легко сообразить, что если стержень короче диаметра чашки (L<iR), то существует другое положение устойчивого равновесия, когда стержень лежит горизонтально внутри чашки. А
4. Маятник с трением. К нижнему концу легкого стержня длины I прикреплен груз массы т, а к верхнему концу — легкая цилиндрическая втулка с внутренним радиусом R. Втулка надета с зазором на неподвижную круглую горизонтальную ось (рис. 4.1). При каких значениях угла отклонения ф от вертикали этот маятник может находиться в равновесии, если коэффициент трения между внутренней поверхностью втулки и осью равен |i?
Д Совершенно очевидно, что в отсутствие трения между осью и втулкой маятник может находиться в равновесии рис 4 j Втулка
только в вертикальном положении. А вот маятника надета
при наличии трения в оси равновесие на неподвижную
маятника возможно в любом отклонен- ось
ном от вертикали положении в пределах некоторого небольшого сектора — так называемой области застоя.
Рассмотрим, каким образом действующие на маятник силы могут обеспечить его равновесие в отклоненном от
132
III. СТАТИКА
вертикали положении. На маятник действуют всего три силы: на груз, прикрепленный к нижнему концу, действует сила тяжести mg, а на втулку со стороны оси в точке их соприкосновения действуют нормальная сила реакции оси N, направленная по радиусу, и сила трения F.rp, направленная по касательной (рис. 4.2). Довольно очевидно, что точка А, где соприкасаются ось и втулка, смещена из верхнего положения в ту же сторону, куда отклонен маятник, во ее точное положение заранее не известно. Для того чтобы
правильно изобразить силы N и FTp на чертеже, нужно сообразить, где именно находится точка соприкосновения втулки и оси.
