Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
=я/4) до максимального значения,которое мы будем считать равным цМ. Это максимальное значение сила трения будет принимать при угле а, соответствующем границе интересующей нас области, где возможно равновесие.
Положение точки А касания блока с осью будем характеризовать углом |3 (рис. 5.3), который образует с вертикалью радиус, проведенный в точку касания. Этот угол можно найти, учитывая, что сила Q уравновешивает векторную сумму действующих на блок сил натяжения нити, т. е. равна mg и направлена вертикально вверх. Приравнивая модули горизонтальных составляющих сил N и FTP, имеем
N sin p=}iiV cos p, (1)
откуда
tg P=(X. (2)
Обратим внимание, что соотношение (2) совпадает с условием равновесия тела на наклонной плоскости, образующей
Рис. 5.3. Силы N и Fxр действуют на блок в точке А, где блок соприкасается с осью
136 III. СТАТИКА
угол р с горизонтом. Как по-вашему, это случайное совпадение или ему можно придать определенный физический смысл?
Теперь легко найти действующую на блок силу трения. Так как модуль силы Q равен mg, то, как видно из рис. 5.3,
Frp—mg s\n p. (3)
Выражая синус угла (3 через тангенс и учитывая соотношение (2), выражение для силы трения можно переписать в виде
<4)
Для нахождения предельного угла а, при котором еще возможно равновесие системы, напишем условие уравновешивания моментов сил, действующих на блок. Так как плечи сил натяжения нити относительно точки О равны внешнему радиусу блока Я, а плечо силы трения равно внутреннему радиусу блока г (рис. 5.3), то
mg (sina—cos a)R=Fnsr. (5)
Подставляя в уравнение (5) значение силы трения из (4) и возводя обе части этого уравнения в квадрат, после простых преобразований находим
sin 2a = 1 ( ^“)2 Т+jI5’' ^
При jx=0, что соответствует отсутствию трения в оси, формула (6) дает sin 2a = I, т. е. а=п/4. При (х=^0 правая
часть в выражении (6)мень-ше единицы, поэтому уравнение (6) для а имеет в промежутке от 0 до л/2 два корня a-i на., расположенных симметрично относительно значения а=я/4 (рис. 5.4). Корень аъ меньший л/4, появился как Рис. 5.4. Область углов а, при лишний при возведении
которых возможно равновесие, ог- уравнения (5) в квадрат,
раничена значениями ах и аа Однако, несмотря настоль
«незаконное» появление, он имеет физический смысл, определяя вместе с а2 всю область значений углов а, в которой система может находиться в равновесии. Подумайте сами, почему так получается.
6. УСТОЙЧИВО ЛИ РАВНОВЕСИЕ?
1.37
Могло бы показаться, что при r=R эта задача соответствует случаю, когда грузы соединены нитью, перекинутой через неподвижный цилиндр, причем коэффициент трения нити о поверхность цилиндра равен ц. Однако это не так. Все дело в том, что в рассматриваемой задаче касание внутреннего цилиндра происходит только в одной точке А, в то время как гибкая нить прилегает к цилиндру по всей дуге. Этот случай будет рассмотрен в задаче 8. а
6. Устойчиво ли равновесие? Однородная доска находится в равновесии в прямом двугранном угле с гладкими стенками. На рис. 6.1 изображено сечение этого угла плос-
костью, перпендикулярной ребру. Как расположена доска? Устойчиво ли ее равновесие?
А Поскольку трение отсутствует, то па доску действуют три силы: сила тяжести Р и две силы реакции опер JVX и Л%, направленные перпендикулярно граням угла. Как уже было выяснено в задаче 3, в положении равновесия под действием только трех сил линии их действия пересекаются в одной точке (рис. 6Л). Из этого рисунка легко видеть, как можно построением найти положение доски в равновесии. Проводим вертикаль через вершину угла и откладываем на ней от вершины отрезок, равный длине доски. Из конца этого отрезка опускаем перпендикуляры на грани угла. Положение доски в равновесии совпадает со второй диагональю получившегося прямоугольника. Нетрудно убедиться, что угол, который образует доска с одной из граней угла, равен углу а, образуемому другой гранью угла с горизонтом.
В устойчивом положении равновесия потенциальная
Рис. 6.1. Силы, действующие на доску в двугранном угле с гладкими стенками
Рис. 6.2. Перемещение центра тяжести при изменении положения доски
138
III. СТАТИКА
энергия минимальна, в неустойчивом — максимальна. Поэтому для выяснения характера равновесия достаточно рассмотреть, как изменяется высота центра тяжести доски при малых смещениях ее из положения равновесия. Если перемещать доску так, чтобы концы ее скользили по граням угла, то ее центр тяжести перемещается по дуге окружности, центр которой совпадает с вершиной угла, а радиус равен половине длины доски (рис. 6.2). В самом деле, как видно из этого рисунка, расстояние от вершины угла до центра тяжести доски не зависит от положения доски и равно половине ее длины.
