Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Равновесие бывает устойчивым, неустойчивым и безразличным. Равновесие устойчиво, если при малых смещениях тела из положения равновесия возникающие при этом силы стремятся вернуть его обратно, и неустойчиво, если силы уводят его дальше от положения равновесия. Если же при малых смещениях действующие на тело силы и их моменты по-прежнему уравновешиваются, то равновесие безразличное.
124
III. СТАТИКА
Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии тела по отношению к ее значениям в соседних положениях тела. Этим свойством часто удобно пользоваться при отыскании положения равновесия и исследовании характера равновесия. Во многих задачах статики, как и в других разделах физики, часто оказывается весьма эффективным использование закона сохранения энергии.
1. Лестница у стенки. Лестница прислонена к наклонной стенке, образующей угол Р с вертикально (рис. 1.1). При каком коэффициенте трения лестницы о стенку возможно равновесие даже в том случае, когда пол идеально гладкий?
Рис. 1.1. Лестница у наклонной стенки
Рис. 1.2. В отсутствие трения о пол такое равновесие невозможно
Л Прежде всего отметим, что лестница, прислоненная к вертикальной стенке, вообще не может находиться в равновесии, если нет трения о пол,— она обязательно соскользнет по стенке. Более того, если как следует подумать, то можно доказать, что верхний конец лестницы при таком соскальзывании обязательно отделится от стенки раньше, чем лестница окажется на полу.
Невозможность равновесия у вертикальной стенки на гладком полу можно сразу увидеть, если взглянуть на рис. 1.2: нормальная сила реакции стенки ^обязательно должна быть отлична от нуля, ибо иначе не будет уравновешен момент силы тяжести mg относительно точки А; но сама сила ЛГ2 может быть уравновешена только горизонтально направленной силой трения о пол.
А вот равновесие у наклонной шероховатой стенки возможно и на идеально гладком полу. Однако для этого коэффициент трения лестницы о стенку должен быть достаточно большим. Посмотрим на рис. 1.3. Поскольку силы mg и Ni направлены вертикально, то в равновесии горизонталь-
2. ЗАКЛИНИВАНИЕ
125
ные составляющие силы ДГ2 и FTp должны быть равны:
N2C0S |J=.FTp sin р. (1)
Сила трения покоя Fтр максимальна на пороге проскальзывания, когда ее значение равно \iNz. Из формулы (1) в этом случае находим
(X=ctg р. (2)
Формула (2) дает минимальное значение коэффициента
трения ц, при котором возможно равновесие у наклонной
стенки с углом р в отсутствие трения о пол. При этом лестница как бы цепляется за шероховатую стенку, хотя другим концом она, конечно, давит на гладкий пол.
Кстати, почему мы так уверенно говорим, что соотношение (2) — это и есть условие равновесия?
Ведь мы еще не выяснили, что при этом будут уравновешены и вертикальные составляющие всех действующих сил. Подумайте над этим сами. В конечном счете все объясняется тем, что в условие (1) никакие другие силы, кроме ДГг и не входят.
Обратим внимание на то, что условие равновесия лестницы не зависит ни от того, насколько наклонена сама лестница, ни от того, в каком месте приложена сила тяжести nig и каково ее значение.
Это означает, что лестница будет в равновесии и в том случае, когда на ней в любом месте стоит человек.
И последнее. Условие (2), как легко видеть, совпадает с хорошо известным условием равновесия тела на наклонной плоскости. Наклоненную на угол р стенку можно рассматривать как плоскость, которая образует угол а=я/2—(3 с горизонтом, и условие (2) записывается в виде (x=tg а. Как по-вашему, это просто совпадение или в этом есть определенный физический смысл? ^
2. Заклинивание. Посмотрите на рис. 2.1. Опирающаяся на доску тяжелая балка может поворачиваться в шарнире А вокруг горизонтальной оси. Какую горизонтальную
Рис. 1.3. В равновесии равнодействующая сил #2 и /Чр направлена вертикально
126
III. статика
силу нужно приложить к доске, чтобы выдернуть ее влево? вправо? Известны все величины, указанные на рис. 2.1.
Л Рассмотрим прежде всего действующие силы.
На балку действуют сила тяжести mg, нормальная сила реакции доски N, сила трения со стороны доски F, направленная в сторону движения доски, и сила реакции шарнира.
Направление последней силы заранее не известно, но оно и не пона-. добится, так как мы будем рассматривать моменты сил, действующих на балку, относительно оси вращения. Тогда условие равновесия моментов действующих на балку сил имеет вид
'//'//////у*
mg
2
sin р—N sin р ± F cos (3 = 0. (1)
Знак плюс соответствует движению доски влево (рис. 2.2а), знак минус — движению вправо (рис. 2.26). Силы, действующие на доску, изображены на рис. 2.2, где/п^— сила тяжести, Ft — сила трения доски о пол, Т — внешняя сила, с которой мы тянем (эта сила будет наименьшей, если доска движется равномерно). На основании второго закона Ньютона в этом случае имеем
