Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
112
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Княетическая энергия поступательного движения стержней при таком тройном столкновении остается без изменения. Никаких колебаний после окончания соударения в стержнях не происходит. Поэтому для рассмотренного столкновения применима модель двух последовательных абсолютно упругих столкновений: сначала первого тела со вторым, а затем второго с третьим.
Выясним теперь, как будет выглядеть это столкновение в той системе отсчета, в которой соприкасающиеся стержни 2 и 3 покоятся, а стержень 1 налетает на них. Для перехода в
2и
а /
v
о | 1
Рис. 26.3. Стержень 1 налетает на покоящиеся стержни 2 и 3
такую систему отсчета нужно к скоростям всех тел прибавить одну и ту же скорость V, направленную вправо. С помощью рис. 26.1 и 26.26 видим, что в этой системе отсчета до удара стержень 1 движется со скоростью 2и, а стержни
2 и 3 покоятся (рис. 26.3а). После удара покоятся стержни
1 и 2, а стержень 3 движется со скоростью 2и направо (рис. 26.36).
Приведенный подробный анализ столкновения трех одинаковых стержней позволяет понять результат упоминавшегося выше опыта с отскоками подвешенных на нитях упругих шаров (рис. 23.2.)
Из разобранных примеров ясно, что соударения нескольких упругих тел нужно рассматривать как последовательность отдельных столкновений. Для того чтобы применять к этим столкновениям упругих тел модель абсолютно упругого удара, нужно быть уверенным в том, что после прекращения столкновения в телах не происходит колебаний. ^
27. Упругий шар и стенка. В задаче 24 уже отмечалось, что столкновение шара с недеформнруемой стенкой происходит не совсем так, как столкновение стержня со стенкой. Главная причина различия заключается в том, что в процессе соударения площадь области контакта шара со стенкой не остается постоянной.
v=0
д
2v
2
J
27. УПРУГИЙ ШАР И СТЕНКА
113
Это различие проявляется даже в статическом случае, когда упругое тело прижимается к недеформируемой стенке постоянной внешней силой. Деформация стержня, попереч-нос сечение которого одинаково по всей длине, будет при этом однородной, и потенциальная энергия упругой дефор-мации будет равномерно распределена по всему объему стержня.
При статической деформации шара, прижатого к стенке, характер распределения деформации будет совсем иным! Деформация материала
вается, что деформация эффективно проникает в шар на сравнительно
небольшую глубину И Рис- 27.1. Пружины разной жест, охватывает только иеко- кости
торую часть шара, объем которой мал но сравнению с объемом всего шара. Потенциальная энергия деформации будет сосредоточена ? малой области шара, непосредственно примыкающей к стенке.
Понять такой характер деформации шара и распределения потенциальной энергии по его объему можно, рассматривая сжатие двух последовательно соединенных пружин разной жесткости (рис. 27.1). Пусть жесткость первой пружины равна ki, второй — Иг. Пружины сжимаются силой F, которая при последовательном соединении пружин в любом сечении одинакова. Деформации пружин хх и хг связаны с силой F и коэффициентами k\ и кг обычными соотношениями
шара уже не будет однородной. Наиболее сильно будут деформированы участки шара вблизи стенки. Чем дальше от стенки, тем меньшей будет дефор-
мация. При этом оказы- F
F—k 1*1, F—k2X2.
(1)
Потенциальные энергии деформированных пружин пропорциональны квадратам их деформаций:
114
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Из соотношений (1) следует, что деформации пружин обратно пропорциональны их жесткостям. Поэтому для отношения энергий W± и Wz с помощью (2) находим
WJWx=kJkx. (3)
Видно, что при последовательном соединении пружин запасенная каждой пружиной энергия обратно пропорциональна ее жесткости: чем мягче пружина, тем большая часть энергии деформации пружин сосредоточена в ней. В
предельном случае, когда жесткость одной из пружин стремится к бесконечности (т. е. ее можно считать абсолютно твердым, неде-формируемым телом), вся потенциальная энергия деформации оказывается сосредоточенной в другой пружине.
Процесс столкновения шара с недеформируемой стенкой можно представить себе следующим образом. Сначала шар касается стенки в одной точке, затем по мере деформации шара область контакта увеличивается. А это означает, что испытывающую деформацию часть шара качественно можно рассматривать как упругую пружину, жесткость которой возрастает с увеличением сжатия. Это условно показано на рис. 27.2. Энергия деформации будет в основном сосредоточена в той части пружины, которая имеет наименьшую жесткость и испытывает наибольшую деформацию, т. е. в малой части шара, непосредственно примыкающей к стенке.
Описанная выше качественная картина деформации шара означает, что при изучении столкновения упругие свойства диара можно считать сосредоточенными вблизи точки контакта (в пружине на рис. 27.2). Так как масса этой деформируемой части мала по сравнению с массой всего шара, то ее деформацию можно считать квазистатической (как у пружины, вовсе лишенной массы), а инертные свойства шара можно рассматривать, считая, что вся масса шара сосредоточена в его центре. В отличие от упругого стержня, для которого нужно было считать, что упругие и инертные свойства равномерно распределены по всему объему, здесь мы можем с хорошей точностью рассматривать упругий шар как точечную массу, прикрепленную к невесомой пружине с переменной жесткостью.
