Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
% = 2lV р/Е. (6)
Время столкновения т можно найти и иначе, воспользовавшись для этого законом сохранения энергии. Перед столкновением стержень недеформирован и вся его энергия — это кинетическая энергия поступательного движения mv2/2. Спустя время т/2 с начала столкновения скорости всех его частиц, как мы видели, обращаются в нуль, а весь стержень оказывается деформированным (рис. 24.26). Длина стержня уменьшилась на величину А/ по сравнению с его недефор-мированным состоянием (рис. 24.3). В этот момент вся энергия стержня —это энергия его упругой деформации. Эту энергию можно записать в виде k(Al)2/2, где k — коэффициент пропорциональности между силой и деформацией: F=kAl. Этот коэффициент с помощью закона Гука выража-
М
-Л-О
Рис. 24.3. Деформация стержня при ударе о
Г.ТРН К V
24. ДЛИТЕЛЬНОСТЬ УДАРА
105
ется через модуль Юнга Е и размеры стержня:
k=ESIl.
(7)
Максимальная деформация А/ равна тому расстоянию, на которое перемещаются частицы левого конца стержня за время т/2 (рис. 24.3). Так как эти частицы двигались со скоростью V, то
Приравниваем кинетическую энергию стержня до удара и потенциальную энергию деформации. Учитывая, что масса стержня m=pS/, и используя соотношения (7) и (8), получаем
откуда для т снова получаем формулу (6). Это время столкновения обычно очень мало. Например, для стального стержня (?'=2-1011 Па, р=7,8-103 кг/м3) длиной 28 см вычисление по формуле (6) дает т = Ю~4 с.
Силу F, действующую на стенку во время удара, можно найти, подставляя скорость звука в стержне (5) в форму-
Видно, что сила, действующая на стенку, пропорциональна скорости стержня перед ударом. Но для применимости приведенного решения необходимо, чтобы механическое напряжение стержня F1S не превосходило предела упругости материала, из которого изготовлен стержень. Например, для стали предел упругости
Поэтому максимальная скорость v стального стержня, при которой его соударение с преградой все еще можно считать упругим, оказывается согласно формуле (9) равной 10 м/с. Это соответствует скорости свободного падения тела с высоты всего лишь 5 м. Укажем для сравнения, что скорость звука в стали и=5000 м/с, т. е. v<Qu.
Время столкновения стержня с неподвижной преградой (в отличие от силы) оказалось не зависящим от скорости стержня. Этот результат, однако, не является универсальным, а связан со специфической формой рассматриваемого тела. Например, для упругого шара время столкновения со стенкой зависит от его скорости. Динамическое рассмотре-
А/=от/2.
(8)
pS/u2
2
F = Sv V Р Е.
(9)
(^/S)raax = 4108 Па.
1С6
II. ДИНАМИКА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
ние этого случая оказывается более сложным. Связано это с тем, что и площадь соприкосновения деформированного шара со стенкой, и действующая на шар сила в процессе столкновения не остаются постоянными. ^
25. Столкновение двух стержней. Решение предыдущее задачи можно использовать и для нахождения длительности продольного соударения двух одинаковых упругих стержней.
Л Рассмотрим, например, случай, когда движущийся со скоростью v стержень налетает на неподвижный. В системе
отсчета, где неподвижен центр масс системы стержней, они движутся навстречу друг другу с одинако-
у/2 о/2
Рис. 25.1. Столкновение двух ВЫМИ ПО модулю скоростя-
одинаковых стержней в системе МИ v!2 (рис. 25.1). При
отсчета, связанной с центром масс столкновении общий центр
масс стержней находится в том сечении, где они соприкасаются. Так как этот центр масс неподвижен, то для каждого стержня процесс столкновения происходит точно так же, как и при ударе о неподвижную стенку. Картину распространения волн упругой деформации в стержнях и распространения скоростей частиц стержней в разные моменты времени можно получить, если пририсовать к рис. 24.2 предыдущей задачи правую часть, являющуюся его зеркальным отражением в плоскости стенки. Это показано на рис. 25.2. Видно, что после столкновения в системе центра масс стержни будут двигаться в противоположных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями и/2, причем деформации в них будут отсутствовать.
Для того чтобы получить эту же картину в лабораторной системе отсчета, необходимо к скоростям всех частиц прибавить скорость центра масс v!2. В результате для тех же моментов времени, что и на рис. 25.2, получается картина, изображенная на рис. 25.3. Как и в случае мгновенного удара, налетающий стержень останавливается, а неподвижный до удара стержень приходит в движение со скоростью и,
Несколько сложнее обстоит дело в случае продольного соударения двух стержней разной длины. К моменту отскока полностью избавиться от деформации успеет только более короткий стержень. Так как второй стержень начнет свободное движение после отскока еще частично деформи-
25. СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ СТЕРЖНЕЙ
