Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутиков Е.И. -> "Физика в примерах и задачах" -> 51

Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.

Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах — М.: Наука, 1989. — 463 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikavpremerahizadachah1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 169 >> Следующая


В положении равновесия радиус, соединяющий вершину угла с центром тяжести доски, расположен вертикально, поэтому при смещении доски ее потенциальная энергия убывает. Равновесие неустойчиво. Случайно отклонившись, доска соскользнет на одну из граней угла. ^

7. Бревна в кузове. Грузовик загружен одинаковыми гладкими бревнами. Заехав в кювет, он накренился на один борт, так что дно кузова образовало с горизонтом

угол 0. Кузов разгрузили, и в нем осталось только три бревна (рис. 7.1). С какой силой F нужно подпереть крайнее бревно 3, чтобы бревна не раскатились? Трением пренебречь.

А Положение бревен, указанное на рис. 7.1, возможно только, если угол 0<ЗО°. В противном случае направление силы тяжести верхнего бревна 2 пройдет левее точки опоры о нижнее бревно 1 и бревно 2 скатится на борт.

При решении этой задачи попытаемся избежать утомительного рассмотрения всех действующих сил и воспользуемся законом сохранения энергии. Если система бревен находится в равновесии, то работа внешней силы F при мысленном бесконечно малом медленном перемещении крайнего бревна 3 определяет изменение потенциальной энергии бревен, так как трение отсутствует, а нормальные силы реакции работы не совершают.

«Геометрия» перемещения бревен показана на рис. 7.2а, который для удобства повернут на угол 0 по часовой стрел-

Рис. 7.1. Бревна в наклонном кузове
7. БРЕВНА В КУЗОВЕ

139

ке. На такой же угол поворачивается направление силы тяжести.

Треугольники на рис. 7.26 соединяют центры бревен до и после перемещения. До перемещения треугольник был равносторонним со стороной, равной диаметру бревен а. После перемещения бревен треугольник становится равнобедренным, боковые стороны его по-прежнему равны а, основание увеличивается на 2Ах, а высота изменяется на Ду. В самом деле, бревно 1 лежит на месте, бревно 3 переме-

Рис. 7.2. Перемещение центров бревен при их раскатывании

щается на 2Ах вдоль дна кузова, а бревно 2 перемещается на Ах вдоль дна и на Ду перпендикулярно дну.

Учитывая, что направление силы тяжести составляет угол 0 с осью у (рис. 7.2а), изменение потенциальной энергии бревен можно записать в виде

AEn=mg cos 0-Дy-\-mg sin Q-Ax~\-mg sin 0-2 Ax.

Первые два слагаемых дают изменение потенциальной энергии бревна 2, а третье слагаемое — бревна 3. При таком перемещении внешняя сила F совершает работу АА = =—F-2Ах. На основании закона сохранения энергии имеем

—F-2 Ax=mg cos Q-Ay~\-mg sin 0-3 Ax. (1)

Для нахождения силы F нужно найти связь между перемещениями Ах и Ду. Проще всего это сделать, выразив их через изменение Да угла а. В системе координат, показанной на рис. 7.2а, координаты вершин треугольника до
140

Ш. СТАТИКА

перемещения бревен равны

х—сх cos ос, у—ci sin os, (2)

После перемещения

х+Ах~а cos (а+Да), у+Ау=а sin (а+Да). (3)

Используя формулы для синуса и косинуса суммы двух углов и учитывая, что при малых Да значения cos Дос»1, sin Aaz&Aa, с помощью выражений (2) и (3) находим

Ах=—a sin а-Аа, Ау—а cos а-Аа. (4)

Подставляя (4) в соотношение (I), получаем выражение для силы F;

F = (cos 0 ctg а —3 sin 0).

Угол а здесь следует положить равным 60°, так как нужно определить силу F, не позволяющую бревнам раскатываться. Поэтому

/г = -?-(уЗС03 ° —3 sine). (5)

Проанализируем полученный ответ. Если угол наклона кузова лежит в интервале 0 < 0 < arctg (l/З V 3), то сила F>0, т. е. бревна действительно нужно удерживать: если силу F убрать, то бревна раскатятся. При Oj = arctg (l/З V3) сила F обращается в нуль. При таком угле 0J бревна не раскатятся, даже если их не подпирать. Если Э^бСЗО0, то сила F согласно формуле (5) отрицательна. Это означает, что бревна не раскатятся, даже если бревно 3 вытягивать вдоль дна кузова с силой, меньшей \F\. Таким образом, 0! представляет собой наименьший угол, при котором бревна не раскатываются в отсутствие удерживающей силы F. А

8. Канат на тумбе. При причаливании к пристани можно остановить движение даже очень большого судна, не прилагая для этого больших усилий. Брошенный с парохода на пристань канат оборачивают несколько раз вокруг тумбы, и тогда оказывается достаточным приложить к свободному концу каната совсем небольшое усилие, чтобы проскальзывающий по тумбе канат остановил и удержал огромный пароход. Рассчитать, во сколько раз действующая на пароход со стороны каната сила превосхо-
8. КАНАТ НА ТУМБЕ

141

дит приложенное к свободному концу каната усилие, если канат трижды обернут вокруг тумбы, а коэффициент трения каната о тумбу равен ц.

А Огромный выигрыш в силе достигается здесь благодаря трению витков каната о поверхность тумбы. Рассмотрим небольшой элемент АI витка каната на тумбе, характеризуемый углом Да (рис. 8.1). На этот элемент со стороны соседних участков каната действуют упругие силы натяжения, равные Т и Т+ДТ и направленные по касательным к
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 169 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed