Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
6. Гидравлический удар. На рис. 6.1 показана модель водопровода. Из поднятого на некоторую высоту h резервуара, играющего роль водонапорной башни, выходит магистральная труба постоянного сечения S и длины /. Эта тру-
ба заканчивается узкой загнутой вверх трубкой сечения 5t с краном, при открывании которого из трубки бьет фонтан. С какой скоростью бьет вода из фонтана и на какую максимальную высоту она поднимается? С какой скоростью движется вода в магистральной трубе и каково там давление? Какое давление будет в магистральной трубе при мгновенном перекрывании крана? Как будет зависеть от времени давление в том случае, когда кран закрывается постепенно в течение промежутка времени т?
д При решении этой задачи будем считать воду идеальной жидкостью, т. е. будем пренебрегать ее вязкостью. В этом случае полная механическая энергия жидкости сохраняется, и для описания ее движения можно использовать уравнение Бернулли, которое и выражает закон сохранения энергии для движущейся идеальной жидкости. При стационарном течении это уравнение имеет вид
Рис. 6.1. В этой модели водопровода полная длина магистральной трубы равна I
h
С -
Н
p+pg/i+pu2/2=const
(1)
где р — давление, которое показывает неподвижный отно-
6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
сительно жидкости манометр, р— плотность жидкости, v — скорость жидкости в данной точке и h — высота этой точки над некоторым уровнем. Уравнение (1) говорит о том, что сумма трех слагаемых в левой части имеет одно и то же значение независимо от того, в какой точке она вычисляется. Для удобства мы в дальнейшем не будем явно выписывать одинаковое во всех точках атмосферное давление ро, понимая под р в (1) превышение давления в жидкости над атмосферным.
Предположим, что кран открыт и установилось стационарное течение жидкости. Изменением уровня воды в резервуаре будем пренебрегать, считая его объем достаточно большим. Тогда уравнение Бернулли (1) позволяет ответить на все относящиеся к этому случаю вопросы. Скорость струи vlt бьющей из фонтанчика, определяется только высотой уровня воды h в резервуаре над отверстием трубки:
v1 = 1/2gh. (2)
Это известная формула Торричелли, которая может быть получена как непосредственно из закона сохранения энергии, так и из уравнения Бернулли, если приравнять левые части (1), записанные для точки А на уровне воды в резервуаре, где скорость практически равна нулю, и для точки В, находящейся в отверстии трубки:
Pgh — pv\!2.
Вылетающие из отверстия со скоростью v1 = V 2gh частицы воды могут подняться до уровня воды в резервуаре, если в отверстии трубки их скорость направлена вертикально вверх.
Скорость движения воды v в магистральной трубе легко найти, учитывая несжимаемость жидкости и используя уравнение неразрывности:
(3)
откуда с учетом (2) имеем
v = vxSjS = V2gh Sj/S. (4)
Если Si<c5, то скорость воды в магистральной трубе много меньше скорости струи, бьющей из отверстия. Отметим, что скорость v одинакова в любом месте магистральной трубы, как непосредственно перед краном, так и в начале трубы сразу после резервуара. А вот давление р воды в ма-
156
IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
гистральной трубе будет разным на разной высоте. Так как скорость воды в трубе уже известна, то найти давление можно с помощью уравнения Бернулли.
Возьмем произвольную точку С в трубе, находящуюся на высоте Я. Тогда, приравнивая левые части (1) для точек С и Л, получим
p+pgH+pv2/2=pgh. (5)
Отсюда для давления воды р на высоте Я имеем
P=Pg(h—H)~ ру2/2. (6)
Из формулы (6) видно, что давление воды в трубе меньше гидростатического, т. е. того, которое было бы при закрытом кране, на величину ру2/2. Чем больше скорость воды в магистральной трубе, тем меньше в ней давление. Это отличие давления воды от гидростатического проявляется уже в самом начале трубы, там, где она выходит из резервуара: скорость воды в этом месте скачком возрастает от нуля, а давление также скачком падает.
Давление воды в магистральной трубе перед краном, там, где Я=О,
P = PS'M1-S3/S2). (7)
Это выражение получается из формулы (6) при подстановке в нее значения скорости v из (4). Из формулы (7) видно, что отличие давления р от гидростатического определяется соотношением между площадями сечений магистральной трубы S и отверстия в трубке Si. Чем меньше расход воды, тем ближе значение давления к гидростатическому.
Теперь рассмотрим, что происходит в трубе при перекрывании крана. Вначале предположим, что отверстие в
кране перекрывается мгновенно. В этом случае происходит так называемый гидравлический удар, при котором давление резко возрастает.
Движущаяся по трубе жидкость обладает импульсом. При мгновенном перекрывании крана вода в трубе вынуждена затормозиться. Абсолютно несжимаемая жидкость остановилась бы при этом вся сразу. А это, в свою очередь, привело бы к бесконечно большой силе давления на преграду. Поэтому представление об абсолютно несжимаемой жидкости в таких условиях неприменимо.
