Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
144
IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
1. Перевернутая воронка. Перевернутая тяжелая коническая воронка поставлена на ровную горизонтальную поверхность, покрытую листовой резиной (рис. 1.1). Узкое отверстие воронки заканчивается тонкой трубкой, через которую внутрь воронки можно наливать воду. Оказалось, что вода начинает вытекать из-под воронки, когда высота уровня воды в трубке становится равной h. Определить массу воронки т, если площадь сечения ее широкого отверстия равна S, а высота воронки равна Я.
д Прежде всего подумаем, почему вода вообще может вытекать из-под воронки. Ведь воронка плотно стоит па резине и никаких щелей там нет. Чтобы вода начала вытекать, воронка должна приподняться. Какая же сила ее приподнимает? Дело в том, что силы давления воды в каждой точке поверхности воронки направлены по нормали к ней и поэтому имеют вертикальную составляющую. Результирующая этих сил, как ясно из симметрии воронки, направлена вертикально вверх. При некотором уровне воды в трубке эта результирующая сила давления может оказаться достаточной для того, чтобы приподнять воронку.
Непосредственное вычисление силы давления требует применения интегрирования. Во-первых, давление воды будет разным для разных горизонтальных слоев, на которые можно разбить поверхность воронки; во-вторых, будут разными площади этих слоев. Поэтому удобнее не вычислять эту силу «в лоб», а воспользоваться другими соображениями, основанными на особенностях гидростатического давления жидкости.
Представим себе, что воронка вместе с налитой в нее водой стоит на весах. Очевидно, что показания весов определяются суммой масс воронки и налитой в нее через трубку воды. В тот момент, когда вода начинает вытекать из-под воронки, нижний край воронки перестает давить на подставку. А это значит, что в этот момент вся сила, действующая на чашку весов,— это сила давления столба воды высотой h на площадь S. Итак, в момент отрыва
уровня h вода начинает вытекать из-под воронки
mg+pgV=pghS,
(1)
2. ПЛАВАЮЩИЕ ШАРЫ
145
где р — плотность воды, а V — объем воды в воронке и трубке.
Если трубка тонкая, то объемом заполненной водой части трубки можно пренебречь по сравнению с объемом самой воронки. В этом случае V=#S/3, и из уравнения (1) находим
m=pS(h—Я/3). (2)
Из формулы (2) видно, между прочим, что воронка довольно тяжелая: ее масса более чем вдвое превышает массу воды в объеме воронки. Если бы воронка имела массу, меньшую чем 2рSH/3, то при наливании воды через трубку воронка оторвалась бы от подставки еще до того, как вода заполнила всю воронку.
Использованный здесь прием позволяет обойтись без непосредственного вычисления силы давления жидкости на поверхность тела и может оказаться полезным при решении других гидростатических задач, особенно в тех случаях, когда тело имеет поверхность сложной формы. Уравнение (1) остается справедливым и в том случае, когда воронка имеет более сложную форму, например, такую, как на рис массы воронки нужно только знать объем ее внутренней части. А
2. Плавающие шары. Два шара одинакового размера, один легкий, а другой тяжелый, прикреплены к тонкому стержню, причем тяжелый к середине стержня, а легкий к одному из его концов. При погружении в воду в неглубоком месте свободный конец стержня опирается о дно, стержень располагается наклонно и из воды выступает только часть легкого шара, причем отношение объема выступающей части к объему всего шара равно п (рис. 2.1). Будет ли эта система плавать или она утонет, если ее опустить в воду на глубоком месте? Массу стержня считать пренебрежимо малой.
А При первом чтении условия задачи может показаться, что приведенных данных недостаточно для ответа на поставленный вопрос: ведь не указаны ни объем, ни масса
Рис. 1.2. Задачу можно решить также и для воронки более сложной формы
1 9. /Тля няхпжгтрния
146
IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
шаров, которые необходимы для нахождения соотношения между силой тяжести и выталкивающими силами. Однако это впечатление обманчиво. Все, что нужно для решения
Рис. 2.1. Погруженный в воду стержень с шарами опирается о дно
77771/7777777777777777777777777777,
задачи, в условии задано, и остается только сообразить, как этим воспользоваться.
Поведение системы на глубокой воде определяется тем, что больше: действующие ла шары силы тяжести или выталкивающие силы, одинаковые для легкого и тяжелого шаров.
зто можно выяснить, рассматривая описанное в условии задачи равновесие стержня с шарами на мелководье.
На рис. 2.2 показаны действующие на систему силы. Через F обозначена выталкивающая сила, действующая на полностью погруженный шар. Так как легкий шар погружен в воду частично, то действующая на пего выталкивающая сила, пропорциональная объему его погруженной части, равна F( 1—п). Поскольку силы тяжести mg и mxg и обе выталкивающие силы направлены по вертикали, то и действующая на конец стержня сила реакции дна Q также направлена вертикально. Рассматривая уравнение моментов сил относительно центра тяжелого шара, получаем для силы реакции дна выражение
