Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь, имеет место следующее предложение;
Предложение 2. В-модулъ Е(В) порождается образом E1 модуля E при А-линейном отображении х—>е0х этого модуля в E(it)\ для каждого А-линейного отображения / модуля E в проиг-волъный унитарный В-модулъ N существует однозначно определенное В-линейное отображение g модуля E^i) в N такое, что f(x) = g(e0x), каково бы ни было х?Е.
Первая часть предложения очевидна, поскольку каждый элемент из E(B) может быть записан в виде 2 ih
І І
где t^B и Xi^E. Для доказательства второй части заметим, что отображение (t,x)—>tf(x) произведения BxE в N А-билинейно; поэтому (§1, п° 2) существует А-линейное отображение g модуля В0Е в N такое, что g (t 0 х) = tf (х)\ покажем, что 5 — В-линейное отображение E(B) в N. В самом деле, достаточно (по линейности) доказать, что g(s-(t 0 х)) = sg(t ® х) при любых Sg В, t ? В, х? Е; но так как, по определению, s-(t0x) = (st) 0 х, то
g (s-{t 0 х)) = g ((St) 0х) = (St) f (x)=s (tf (х)) — Sg (t 0 х).
Поскольку, очевидно, g (е 0 х) = ef (х) — f (х), предложение доказано.
23*
356
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 2
Говорят, что В-модуль Em получен путем расширения кольца А операторов модуля E до В; Л-линейное отображение х —>eQx модуля E в E(B) называется каноническим отображением этого модуля в его расширение Е(в). В случае, когда это отображение есть А-изоморфизм, E чаще всего отождествляется с его образом E1.
Предложение 3. Для каждого А-линейного отображения / A-модуля E в А-модулъ E' существует однозначно определенное В-линейное отображение g В-модуля E1В) в Е[щ такое, что g (е Q х) = е Q1 (х) для каждого х^Е.
Достаточно применить предложение 2 к Л-линейному отображению x—?eQf{x) модуля E в Е[Ву
В случае, когда канонические отображения E в Е(В) и E' в Е[в) являются изоморфизмами, посредством которых E ж E' отождествляются соответственно с подмодулями Л-модулей BQE и BQE', можно также сказать, что каждое Л-линейное отображение E в E' однозначно продолжается до 5-линейного отображения Е(В) в Е{в).
Расширение кольца операторов модуля есть транзитивная операция; говоря точно, имеет место следующее предложение:
Предложение 4. Пусть С — кольцо (коммутативное или нет) с единицей е и А, В — подкольца этого кольца, содержащиеся в его центре, причем e^AciB. Каков бы ни был А-модулъ Е, С-модуль Е(о изоморфен С-модулю (Е{щ){С).
Применим критерий предложения 1. Пусть / — Л-линейное отображение модуля E в унитарный С-модуль N и ф — каноническое отображение E в Е(Ву, согласно предложению 2, существует .S-линейное отображение g модуля Е(В) в N такое, что
S (ф (x))=f(x); точно так же, если обозначить через г(з каноническое отображение E1B) в (S(B))(C)1 существует С-линейное отображение h модуля (S(B))(C) в N такое, что А (г(з (ф(г))) = g (ф (г)) =/(я); так как х—> г|з (ф (х)) есть Л-линейное отображение E в (E(B))(C)i предложение 1 устанавливает существование изоморфизма Е(о на (E(B))^C) (называемого, как и изоморфизм, обратный ему, каноническим) , относящего каждому элементу вида е (g) х (х Є Е) из Е(су элемент Я]) (ф (х)) ИЗ (E(B))(C)¦
РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ
357
Замечания. 1) Поскольку вообще А-модуль BlQE не изоморфен Е, было бы неправильно думать, что сужение кольца операторов модуля (гл. II, § I, n° 1, и § 5) и расширение этого кольца операторов являются взаимно обратными операциями.
2) В случае, когда А—произвольное (не обязательно коммутативное) подкольцо кольца В, содержащее его единицу, также можно определить расширение кольца операторов произвольного унитарного (левого) Л-модуля до В я обобщить предыдущие предложения (см. упражнение 7 и Приложение II к этой главе).
їі. Расширение кольца операторов свободного модуля
Каноническое отображение х—х Л-модуля E в 5-модуль E(B) вообще не есть Л-изоморфизм (оно может быть тождественно нулевым, когда ни В, ни E не сводятся к 0; см. ниже теорему 2). Однако оно является Л-изоморфизмом в двух важных случаях, которые мы теперь рассмотрим.
Теорема 1. Пусть В —кольцо (коммутативное или нет), обладающее единицей е, и А — подкольцо этого кольца, содержащееся в его центре и такое, что е Є А. Каноническое отображение х—>е ® х унитарного A-модуля Е, имеющего базис (ах), в Eu-) есть А-изомор-физм; по отождествлении E с его образом E1 при этом изоморфизме базис (ау) модуля E относительно А является также базисом В-модуля E(B). Каждое А-линейное отображение f модуля E в произвольный В-модуль однозначно продолжается до В-линей-ного отображения f модуля Е(В) е N такого, что
7(2 Ixax) = 2 IrS Ы
X X
для каждого элемента 2 %хах из E(B) (Е>.€ В).
Действительно, при а: =2 %хах соотношение e(Qx = 0 записы-
X
вается в виде 2 ((^е) ® a?i) = 0 и, значит (§1, следствие 1 предло-х
жения 7), влечет |я,е = 0 для каждого %, откуда ^ = O для каждого Я; тем самым каноническое отображение x~->e(Qx есть изоморфизм. То, что (ах) служит базисом для Е(В), непосредственно вытекает из следствия 1 предложения 7 § 1 и определения внешнего закона 5-модуля E(B), поскольку для каждого индекса X и каждого t?B можно, по отождествлении E с E1, написать
