Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 134

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 201 >> Следующая


g1 = goa>, где g— линейное отображение Поэтому /(х, у) =

= g (а> (х Q у)) — g (и (х, у)), т. е. f = gou. В силу предложения 3, примененного к модулям Е/М, F/N, S и отображению и, модуль S изоморфен (Е/М) Q (F/N): изоморфизм S на (Е/М) Q (F/N), определяемый отображением предложения 3, относит классу х Q у по модулю Г (М, N) тензорное произведение X Q у; мы будем называть этот изоморфизм и изоморфизм, обратный ему, каноническими.

Следствие. Пусть а и Ь- любые Oea идеала кольца А; тензорное произведение моногенных модулей А/а и А/Ь изоморфно моногенному модулю А/(а~\-Ъ).

Действительно, при каноническом отождествлении модулей AQA и А (следствие предложения 5) подмодуль Г (а, Ь) модуля AQА отождествляется с идеалом а + Ь. откуда и следует справедливость утверждения.

Пусть М —-произвольный подмодуль модуля E. N — произвольный подмодуль модуля F, ф—каноническое отображение M в E и a|j — каноническое отображение N в F. Отображение (х, у) —> ф (ж)® 1|з (у) произведения M >ч N в EQF, будучи билинейным, определяет (называемое каноническим) линейное отображение 0 модуля MQNbEQ F (такое, что 0 (xQу) = ф (я)®1»]) (у))] образ 0 (М (g> N) модуля M Q N при этом отображении есть подмодуль в EQF, порожденный элементами ф (ж) (g) ¦ф (г/), где х пробегает Muy пробегает N', по вообще 0 не есть изоморфизм M QN в E Q F (см. упражнение 1), что тем самым не позволяет отождествлять M QN с 0 (MQN). Однако справедливо следующее предложение:

Предложение 7. Пусть E и F — A-модули, являющиеся прямыми суммами семейств (E)) и (Ffl) своих подмодулей. Каноническое отображение Ex Q Fil в E Q F для каждой пары индексов (X, р.) есть изоморфизм на некоторый подмодуль Gxv модуля E Q F, и E Q F есть прямая сумма подмодулей Gxv..

Пусть G-прямая сумма семейства А -модулей (ExQFv) (гл. II, § 1, п° 7); мы определим билинейное отображение и произведения ExF в G, удовлетворяющее условиям предложения 3, откуда будет следовать, что G изоморфно EQF. Для каждого
;{ ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 343

элемента х — У] Xx из Е, где х& Ex, и каждого элемента у =YiVh

% M-

из F, где положим и (х, у) = Y (хх ® Уц)! ясно, что и —

%> M

билинейное отображение и и (Е X F) порождает G. Пусть теперь N — произвольный ^-модуль и /—билинейное отображение ExF в N; пусть, далее, Jxll для любой пары (к, |л) — сужение / на произведение Е% X. Fll. Так как /?41 билинейно, то существует линейное отображение модуля Ex® F11 в N такое, что

hix(xx,ylx) = gx»{zx®ytx) ДЛЯ всех хх?Ек, IJvtFli; с другой стороны, для X = Y,xx€ E Ky = ^yllZF имеем / (х, у) = Y f(xx, 2/ц) = X ц X1H

= Yfxn (хх, Уц) = Y gxyi (хх 0 г/ц); поэтому, обозначая через g линей-А., ц Я.» M

ное отображение GbN, сужение которого на Е% 0 Fil для каждой нары (к, (д.) равно (гл. И, § 2*, предложение 3), имеем

f(x,y) = g{Y{xk®yv)) = g(u{x,y)), или/ = go и. Следовательно,

Я, м.

модули E 0 F и G изоморфны; изоморфизм v модуля E 0 F на G, определяемый отображением предложения 3, относит тензорному произведению X 0 у элементов X = Y xX И У = Y Ум элемент

% M

Y (xX <S> Ууд из G, где каждое тензорное произведение х% 0 у ^

X, Ii

берется в модуле Ex^Fll; ясно, что сужение v на GxlI есть изоморфизм Gxll на Ex® F11, обратным к которому служит канонический изоморфизм Ex (X) Fil в E 0 F.

При выполнении условий предложения 7 модули Gxll и Ех<& F11 посредством изоморфизма v отождествляются.

Следствие 1. Если F обладает базисом (&|д)и р м , то модуль E 0 F

изоморфен модулю j?<M) и каждый элемент из E 0 F может быть, и притом единственным образом,, представлен в виде 2 (хц ® Ь^),

Ii

где X11^E.

Действительно, при указанном отождествлении E®F есть прямая сумма подмодулей E^(Abll); так как I-^lbll есть изоморфизм А на Abll, то из предложения 5 вытекает, что х—> ж 0 bf,. есть изоморфизм E на E 0 (Abll), чем утверждение и доказано.
344

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. III, § 1

Следствие 2. Если (а^) —базис модуля E и Ibv) — базис модуля F, то элементы a^<g образуют базис модуля EgF, Допуская вольность речи, мы будем называть базис (а*,® &ц) тензорным произведением базисов (?) и (by).

Мы видим, что если E и F-векторные пространства над полем К, а а: и у — ненулевые элементы из E и F, то xg у Ф 0; действительно, в E существует базнс, содержащий х, и в F-базис, содержащий у.

Следствие 2 показывает также, что если E и F — конечномерные векторные пространства над полем К, то и E F — конечномерное векторное пространство над К, причем

dim (Е ® F) = dim E dim F. (5)

Следствие 3. Пусть E и F — A-модули, a M и N — их подмодули. Если M обладает дополнением в E и N — дополнением в F, то каноническое отображение M ® N в E <g> F есть изоморфизм и образ M ig N при этом изоморфизме обладает дополнением в E ® F.

В этом случае (всегда реализующемся, когда E и F — векторные пространства (гл. II, §3, предложение 5)) модуль M g> N отождествляется с его каноническим образом в E ig F.

То, что для подмодуля M модуля E и подмодуля N модуля F каноническое отображение MigNvEigF Yie обязательно является изоморфизмом, можно также выразить следующим образом: если и (УіЇі^і^п — конечные последовательности элементов
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed