Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
из E и F, для которых 2 (хі <S> У і) = 0 в E ® F, a M и N- под-
І
модули в E и F, порожденные соответственно элементами Xi И IJi,
то 2(жі®Уі) не обязательно = 0 в Mg N. Отметим, однако,
І
следующее предложение:
Предложение 8. Пусть (?)^^nU (iJi)t<i<n — семейства элементов из E и F, для которых 2 (хг 0 JJi) = Oe E0F. Тогда существуют
І
подмодуль E1 в Е, содержащий все Xi, и подмодуль F1 в F, содержащий все г/j, имеющие конечное число образующих и такие, что
2 (xt 0Ui) = 0 в ExIgF1.
І
з
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ
345
Действительно, по предположению, в модуле G = A^exформальных линейных комбинаций элементов из ExF элемент принадлежит подмодулю Н, на котором аннулируются
І
все билинейные функции (п° 2). Значит, согласно определению Н,
S (Si, IJi) можно представить в виде линейной комбинации конеч-
І
ного числа элементов zv g G видов
(и, v + v') — (и, v) — (u, v'),
(и +и', v) — (u, v) — {u', v),
(аи, v) — а (и, v), (и, av) — а (и, v).
Пусть тогда E1 (соответственно F1) — подмодуль модуля E (соответственной), порожденный элементами Xi (соответственно JZi) и всеми элементами из E (соответственно F), фигурирующими в упомянутых выражениях для элементов zv. Модуль G1 = A^ElXFl) можно считать подмодулем в G\ тогда подмодуль H1 в G1, на котором аннулируются все билинейные функции, определенные на E1X F1, будет подмодулем в Hf] G1, содержащим все zv, а, значит, также 2 (хп Уі)і чем предложение и доказано.
І
Замечание. Пусть В—подкольцо кольца А, имеющее тот же единичный элемент, что и А, и пусть E и F—Л-модули. Сузив области операторов внешних законов этих модулей до кольца В, мы определим в множествах EnF структуры В-модуля; пусть Ев и Fb — определенные так і?-модули. Тогда можно рассматривать, с одной стороны, 1?-модуль EbQFb, а с другой—B-модуль, полученный нутем сужения области операторов ^4-модуля EQF до В; вообще эти два модуля не изоморфны. Например, пусть А — поле и В — его подполе, степень [А : В] которого есть копечное число те; так как векторное пространство AQA над А изоморфно А, то при сужении области операторов до В мы нолучим те-мерное векторное пространство над В; напротив, согласно формуле (5), AbQAb будет иметь относительно В размерпость т.2.
Таким образом, говорить о тензорном произведении двух модулей не имеет смысла до тех пор, пока не указано кольцо операторов, относительно которого это произведение берется; явное указание этого кольца будет опускаться, лишь когда контекст не будет оставлять никакого места сомнениям насчет него.
346
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III. § 1
4. Тензорное произведение линейных отображений
Пусть E1, E2, F1, F2- Л-модули и Ui (i = 1, 2) — линейное отображение Ei в Fi. Согласно схолии из п° 2, положив и (X1 0 х2) = = U1 (X1) 0 и2(х„) для каждого тензорного произведения X1 0 X2Z ? E1 0 E2, мы определим линейное отображение и модуля E1(^)E2 в модуль F10 F2. Обозначим временно это отображение и через ip (U1, и2); очевидно (п° 2, схолия) <р есть билинейное отображение произведения X (E1, F1) X X (E2, F2) в модуль X (E1 0 E21F10 F2)-, следовательно (п° 2), существует, и притом только одно, линейное отображение ib тензорного произведения X (E1,Fl)0X (E2, F2) в X (E10 E2, F1 0 F2) такое, что <p (W1, и2) = if (U10 и2). Вообще ^ не есть изоморфизм X (E1, F1) 0 X (E2, F2) на X (E10 E2, F10 F^ (см. упражнение 3); тем не менее это будет так в наиболее важном случае:
Предложение 9. Если Ei, Е<,, F1, F,, — унитарные А-модули, имеющие каждый конечный базис, то есть (называемый каноническим) изоморфизм X (E1, F^)0X (E2, F2) на X (E1 0 E2, F1(QF2).
Действительно, мы покажем, что отображает базис модуля X (E1, F1) 0 X (E2, F2) на базис модуля X (E10Е2, F1 0 F2). Пусть («і д.) —базис модуля E1 и (biy^ ) — базис модуля Fi (і = 1,2); положим aX1Xi = аи%10 02,Для каждой пары (XlfX2) и = = ^2,H2 Для каждой пары ((X1,р2); aX1X2 образуют базис
в E10 E2, a ^ніиг в P10 F2 (следствие 2 предложения 7). В таком случае отображения и% ц (i = 1,2), определяемые условиями
MJ4Ui (Ai1Jii) = 6-;, Mi 11 wVi Кд;) =0 для ^ ф ’ обРазУют базис
в X(EvFi) (гл. 11, §2, п°4); точно так же отображения Ux1X2iIivi2, определяемые условиями WJlji2H1H2 (aJl1X2) = “Д.А2Н1Й2 (aV1X^ = О
для (Х[,X2) Ф (X11X2), образуют базис в X (E1 0 E2, Fx0 F2).
Ho, очевидно, Ux1X2Hlll2 = Ф KlHl- их2\х2) = ^ KlHl ® wW’ и так как тензорные произведения UjllJ110 Ux2н2 образуют базис в X (EilF1) ®
0 X (E2, F2), то предложение доказано.
Таким образом, в случае, когда E14E21F11F2 имеют конечные базисы, модуль X (E10 E2, F1(QF2) можно отождествлять
с тензорным произведением X (E11F1) 0 X (E21F2) посредством изоморфизма 1)5 И вместо ф (Uj5U2) писать U1 0 U2 (или даже U1U2). Допу-
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ
347
ская вольность речи, мы и в случае невыполнения условий предложения 9 будем называть линейное отображение <р (их, U2) тензорным произведением линейных отображений U1 и U2 и обозначать его эта вольность речи не сможет вызвать путаницы,
