Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
(9)
(10)
(11)
’50
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 1
тами = aI, X1aZ, х2, к базису, образованному элементами
аЯіЯ2=аі, Х\а2, X2, равна тензорному произведению P1 0 P2.
Наконец, согласно предложению 12, матрица, транспонированная к тензорному произведению X1 ® X2 матриц X1 и X2, равна тензорному произведению 'X1 0 1X2 транспонированных к ним матриц.
7. Полилинейные функции; тензорное произведение конечного числа модулей
Определение билинейных функций обобщается следующим образом:
Определение 4. Пусть А — коммутативное кольцо с едини-
П
цей, E — [] Ei — произведение п унитарных A-модулей EiUF-
г=1
унитарный А-модуль. / называется полилинейным отображением EeF, если, каковы бы ни были индекс і. и п— 1 элементов ak?Eh (кфі), частичное отображение
Xi > / ^a1, .. ., ai^1, Xi, ai+1, .. ., ап J
есть линейное отображение Ei в F.
Пример. Если E — алгебра над А, то
(Х1, * * M Хп) ^1*2? • * *
есть нолшШнейное отображение En в Е.
Замечание. Разумеется, определение 4 непосредственно распространяется на случай множества индексов і, являющегося не интервалом из N вида [1, л], а любым конечным множеством.
Tl
Полилинейное отображение 4-модуля E - JI Ei в кольцо А
і—1
(рассматриваемое как Л-модуль) называется полилинейной формой.
Свойства билинейных отображений, перечисленные в n0 1, непосредственно распространяются на полилинейные отображения; формулирование этих обобщений предоставим читателю.
Tl
Отметим лишь, что полилинейные отображения E= fj Ei в F
г=1
образуют Л-модуль, обозначаемый X (E1, ...,En; F) или Xn(E;F). если все Ei совпадают с одним и тем же модулем Е.
7 ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ 351
Рассмотрения п° 2 можно теперь перенести на любое конечное семейство Л-м одул ей; ими определяется Л-модуль М,
обладающий следующими свойствами:
1° существует полилинейное отображение ф произведения
П П
[] Ei в M такое, что M порождается множеством ф( [] Ei);
І=1 І=Ч
2° для] любого полилинейного отображения / произведения
п
[] Ei в любой .4-модуль А существует, и притом единственное,
І= 1
линейное отображение g модуля M в N такое, что f—gо ф.
При этом каждый Л-модуль, обладающий этими свойствами, изоморфен M (обобщение предл OHteHHH 3).
Детальное проведение доказательства предоставляем читателю.
Определенный так Л-модуль Al называется тензорным произ-
Tl
ведением семейства (Ei) и обозначается (§) E1 или E1QE^ . . . QEn;
І—1
если все Ei совпадают с одним и тем же модулем E, то их тензор-
Ii
ное произведение обозначается также (§)Е и называется п-й
тензорной степенью модуля E. Значение ф (^1, Z2, ...,хп), принимав-
11
мое полилинейным отображением ф для каждого (Xi) ? {; E1,
І— 1
п
обозначают (§) Xi или X1 0 х.г 0 ... 0 хн и (допуская вольность i=l
речи) называют тензорным произведением последовательности (Xi). Каково бы ни было разбиение (/h)i<ft<p интервала [1, ге] множе-
П
ства N, тензорное произведение^)^ изоморфно тензорному
i=l
P
произведению (^) ((R)Ei) («ассоциативность» тензорного про-
/1=1 г klh
изведения). Это устанавливается методом, использованным в доказательствах предложений 6 и 7: условием и (X1, ..., хп) =
P
= <8> (<Э Zi) определяется полилинейное отображение и про-
IiIh
352
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 1
Tl р
изведения JJ Ei в 0 0?4) и доказывается, что это поли-
1=1 ft—і
линейное отображение удовлетворяет условиям предложения 3 (обобщенного на случай п модулей). Определенный так изомор-
Tl р
физм 0 Ei на 0 ((g)Ei), называемый, как и обратный ему »= I fc=l і ІІк
изоморфизм, каноническим, относит каждому тензорному произ-
Tl р
ведению 0 Xi элемент 0 ( ® Zi).
t=l h= I KIh
Читатель без труда обобщит на тензорное произведение любого конечного числа модулей предложения 6 и 7, определение тензорного произведения любого числа линейных отображений (или матриц) и предложения 8—12.
Упражнения. 1) Пусть EgF — тензорное произведение Z-модуля E=Z на Z-модуль F=Z 1(2) и M — подмодуль 2Z (четных чисел) модуля Е. Показать, что канонический образ тензорного произведения M <Э F в E <Э F (п° 3) не изоморфен M <Э F.
2) а) Пусть G — аддитивная группа, рассматриваемая как Z-модуль; показать, что тензорпое произведение (Z/(«)) g С Z-модулей Z/(п) и G изоморфно факторгруппе GInG группы G по ее подгруппе nG, образованной элементами пх, где х пробегает G.
б) Ядро канонического представления (nZ) <g G в Z g G изоморфно подгруппе в G, образованной теми элементами х, для которых пх=0.
3) Пусть E — любой унитарный .Л-модуль и F — унитарный А-модуль с базисом.
а) Показать, что, каков бы ни был подмодуль M модуля Е, каноническое отображение MgF в EgF есть изоморфизм.
б) Показать, что если х — свободный элемент модуля E и у—ненулевой элемент из F, то x(gy ф 0; если при этом и у сво-•бодный, то X Qy есть свободный элемепт модуля EgF.
4) Пусть р — простое чийло, А — коммутативное кольцо Z/(р2), E — аддитивная группа Z/(р), рассматриваемая как Л-модуль (в котором произведением класса по модулю р2 и элемента х 6 E служит элемент пх, где п— любое целое из рассматриваемого класса по модулю р2). Пусть, далее, и и а — любые два линейных отображения E в А (рассматриваемое как ^!-модуль). Показать, что линейное отображение / модуля EgE в AgA, удовлетворяющее условию }(xgy) = = u(x)gt'(y), тождественно нулевое, хотя тензорное произведение Е* g) Е* сопряженного к ? на себя и не сводится к 0.
