Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 138

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 201 >> Следующая


5) Пусть Eu E2, Fu F2 — векторные пространства над полем К, Ui (г = 1, 2) — линейное отображение Ei в Fi и U = U1 g и.г. Пусть, далее, Hi — векторное подпространство пространства Ei (і = 1, 2),
I

РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ

353

Я — векторное подпространство H1QH2 пространства E1QE2 (следствие 3 предложения 7) иH' — подпространство (M1 (H1)) Q (и2(Н2)) пространства F1QF2. Показать, что и (H) = H'. В частности, если ранги е(иі) и б(“г) конечны, то q (нх Q и2) = Є («і) Є (и2).

6) Пусть z — элемент тензорного произведения EQF конечномерных векторных пространств EwF над некоторым полем; каков бы ни был базис (bj) пространства F, z может быть однозначно представлен в виде ^ (xj Q bj), где Xj ? E (следствие 1 предложения 7). Пока-i

зать, что векторное подпространство V пространства Е, порожденное элементами Xj, не зависит от рассматриваемого базиса (& ,) пространства F. Если V r-мерно, то существуют его базис (йі)1<і<г и г эле-

Г

ментов сі (1 і О) пространства F такие, что z = (aiQci),

i=l

причем г — наименьшее возможное число слагаемых в представлении z в виде суммы тензорных произведений элемента из E на элемент из F.

§ 2. Расширение кольца операторов модуля

В этом параграфе нас будут интересовать структуры модуля относительно различных колец операторов, причем одно и то же множество сможет наделяться различными такими структурами; во избежание всяких недоразумений мы будем называть отображение EbF, линейное при наделении E ж F структурами .4-модуля, А-линейным или А -гомоморфизмом. Аналогично будут определяться А-изоморфизм, А-билинейное отображение и т. д.

1. Расширение кольца операторов модуля

Пусть В — кольцо (коммутативное или нет) с единицей е, А — подкольцо кольца В, содержащееся в его центре и имеющее ту же единицу, так что В может рассматриваться как алгебра над A, til M — любой (левый) В-модулъ. Сужение его кольца операторов до А (гл. II, § I, n° 1) определяет в M структуру А -модуля; говоря о структуре Л-м одул я в заданном 5-модуле, мы всюду имеем в виду структуру, полученную указанным способом.

Пусть теперь E — произвольный унитарный А-модулъ; исследуем, можно ли погрузить E в унитарный В-модулъ, т. е., говоря точно, найти А-изоморфизм модуля E в унитарный 5-модуль. Легко видеть, что эта задача не всегда допускает решение.

23 н. Бурбаки
354

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. III, § 2

Примером может служить тот случай, когда A = Z, B=Q, a E — коммутативная группа, им^ощая элементы конечного порядка и рассматриваемая как Z-модуль; такая группа очевидно не может быть погружена в векторное пространство над Q (см. ниже, п° 3, теорема 2).

Более общим образом, мы изучим Л-линейные отображения модуля E в произвольный унитарный 5-модуль и установим существование унитарного 5-модуля F и Л-линейного отображения ф модуля EbF таких, что, каково бы ни было Л-линейное отображение / модуля E в любой унитарный 5-модуль N, существует В-линейное отображение g модуля FbN, для которого f = gРф. Тогда поставленная выше задача «погружения» будет иметь очевидное решение: для существования Л-изоморфизма модуля E в унитарный 5-модуль необходимо и достаточно, чтобы ф было взаимно однозначно.

Заметим прежде всего, что если 5-модуль F обладает указанным свойством, то им обладает и его подмодуль F1, порожденный множеством ф(2?); поэтому можно дополнительно потребовать, чтобы ф (E) порождало F; тогда 5-линейное отображение g, для которого i = g° ф, будет определяться Л-линейным отображением / однозначно. При этом такой 5-модуль F, если он существует, определен, с точностью до изоморфизма, однозначно. Говоря точно, имеет место следующее предложение:

Предложение 1. Пусть Fi (? = 1, 2) — унитарные В-модули и фі для каждого і — А-линейное отображение EeFi такое, что: I0 фі (E) порождает Fi и 2° каково бы ни было А-линейное отображение f модуля E в произвольный унитарный В-модулъ N, существует В-линейное отображение gi модуля Fi в N тате, что J=ZgiOtyi. При этих условиях существует В-изоморфизм и модуля F1 на F2, для которого ф2 = иофх.

Действительно, беря в качестве N В-модуль Fi (соответственно .F1) видим, что существует 5-линейное отображение Ii1 (соответственно ft2) F1 в F2 (соответственно F2 в F1) такое, что ф2 = hx ° ф! (соответственно фі = h%° ф2); тогда фх = (ft2 ° H1) ° фх, и так как фг (E) порождает F1, то ft2oK1 есть тождественное отображение F1 на себя; совершенно так же A1Oft2 есть тождественное отображение F2 на себя, и предложение доказано.
I

РАСШИРЕНИЕ КОЛЬЦА ОПЕРАТОРОВ МОДУЛЯ

355

Покажем теперь, что 5-модуль F и отображение <р, удовлетворяющие требуемым условиям, действительно существуют. Рассмотрим Л-модуль В® E (где В рассматривается как ^-модуль); пусть t — произвольный элемент из В; если для каждого тензорного произведения X 0 у (х?В, у?Е) положить -фг (х 0 у) =

= (tx) 0 у, то, поскольку отображение (X, у)—> (tx) 0 у очевидно билинейно, этим определится Л-линейное отображение "ф, модуля 5 <§) ? в себя (§ 1, п° 2). Положив t -z = a|)((z) для каждого t? В и каждого z?B0E, получим внешний закон композиции (t, z)—>t-z на В0Е, имеющий В своей областью операторов; непосредственная проверка показывает, что этот внешний закон вместе со сложением определяет в множестве В 0 E структуру унитарного левого В-модуля. Во избежание смешения с А-моду-лем В 0 E обозначим полученный так S-модуль через Ew. Заметим, что В 0 E есть не что иное, как модуль, получающийся путем сужения кольца операторов 5-модуля Е(В) до А.
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed