Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
покуда речь будет идти лишь о линейных отображениях (поскольку элементы тензорного произведения X (EltF1)I^X (Ei, F2) не являются линейными отображениями).
Предложєіше 10. Если E1, E2, F1, F2,G1, G2- A-модули, Ui-линейное отображение Ei в Fi и Vi- линейное отображение F1
ч Gi (? = 1,2), то
(U1 О U1) <g) (v2 О и2) = (U1 <g) V2) О (U1 (? и2). (6)
Это утверждение есть непосредственное следствие определения тензорного произведения линейных отображений.
Следствие. Если Ui (і=А, 2) есть изоморфизм Ei на Fi, a. Vi —
обратный изоморфизм, то U1 (g) и.2 есть изоморфизм, E1 ® E2 на F1 ® F2 и V1 (? V2 — обратный ему изоморфизм.
5. Модуль, сопряженный к тензорному произведению
Пусть E1 и E2 — унитарные Л-модули; согласно п° 2, модуль X (E1, E2, А) билинейных форм на E1 х E2 изоморфен модулю линейных форм на тензорном произведении E1 (g) E2, т. е. модулю, сопряженному к этому тензорному произведению; канонический изоморфизм X (E1, E2, А) на (E1Ig E2)* относит каждой билинейной форме f E1X E2 линейную форму и на E1 <g> E2, определяемую условиями U (X1 (? x^)=f (X1, х2) для каждого тензорного произведения X1 (g) X2.
Предположим теперь, что каждый из модулей E1, E2 имеет конечный базис; предложение 9 определяет тогда канонический изоморфизм модуля Е* ® Et на модуль линейных отображений E1 ® E2 в А (g) А ; но следствие предложения 5 устанавливает канонический изоморфизм А ® А на А, откуда непосредственно получается изоморфизм модуля X (E1 (g) E2, А ® А) на X (E1 (g> E2, A)—(E1 (g) E2)*; таким образом, имеем:
348
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 4-
Предложение 11. Пусть E1 и E2 — унитарные А-модули с конечным базисом. Тензорное произведение Е* Q Е* модулей Е* и E*, сопряженных соответственно к E1 и E2, изоморфно модулю, сопряженному к тензорному произведению E1 Q E2, изоморфизм Е* Q Е* на (E1 Q E2)* определяется отнесением каждому тензорному произведению х\ Q Є Е* Q Е\ линейной формы и на E1Q E2r определяемой условием и (^l Q ж2)=ж' (X1) х\ (х2).
Изоморфизм, определенный в предложении 11, и изоморфизм, обратный ему, называются каноническими-, в дальнейшем Е* Q Е* будет отождествляться с сопряженным к E1 Q E2 посредством этих изоморфизмов; таким образом, тождественно
(З'І ® X2, X^ Q X^) — (^1) ^i) (*^2’ *^2)' (l^)'
Предложение 12. Пусть E1, E2, F1, F2 — унитарные А-модули с конечным базисом и Ui (?=1,2) — линейное отображение Ei в Fi; сопряженное к линейному отображению U1 Q и2 модуля E1QE2 в F1QF2 равно тензорному произведению tU1Q1U2 сопряженных к U1 и и2.
Действительно, для всех Xi^Ei, y'i ^ Fi (і=I, 2) имеем (U1 (X1) Q U2 (х2), ® ^Z2) (*^i)» У\) (^2 (^2)* —
= {хг, iU1(^1)) {х2, iu2(y2)) = (x1Q х2, 1 U1(^1) QiU2(^2))г чем предложение и доказано.
6. Тензорное произведение матриц
Пусть E1, E2, F1, F2-А-модули и Ui (і=1, 2)— линейное отображение Ei в Fi. Предположим, что Ei имеет конечный базис (яі, ь{)> Fi конечный базис (bit Ц{) (г=1, 2), и пусть Х{=(а^.) — матрица линейного отображения Ui относительно этих базисов; матрица ^=(ocmM2^2) линейного отображения U=U1QU2 относительно базисов (^1Jt2) и (^1P2) (в обозначениях предложения 9) называется тензорным (или кронекеровским) произведением матриц X1 и X2 и обозначается X1(^)X2. По определению,
O’ (^XiX2) (^i, Яі) ® ^2 2, Я.2) 2 ) Hi® ^2,
Ці. Ц2
поскольку и (а%^2) есть столбец матрицы X с индексом (K1, K2). видим, что элементы матрицы Xt Q X2 задаются соотношениями
(ІМіМ2/-1>-2 (*^)
ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МОДУЛЕЙ
349
Если ограничиться рассмотрением матриц, имеющих своими множествами индексов интервалы из N вида [1, г], то тензорное произведение А ® Б матрицы A = (Ctii) из т строк и п столбцов и матрицы B=(Plft) из р строк и q столбцов может быть записано в форме «клеточной матрицы» (гл. II, § 6, п° 4)
соответствующей разбиению множества индексов строк па множества [Р) (1 і ¦< т) и множества индексов столбцов на множества {/}Х[1, q] (!<;/<; ті), или в форме клеточной матрицы
соответствующей разбиению множества индексов строк на множества [I, fra]X{ft} (I < ft р) и множества индексов столбцов на множества [I, п]Х{к] (1 < к < q).
Билинейность U1Igl U2 и тождество (6) в переводе на язык матриц выражаются тождествами
Если X1 и X2 — обратимые квадратные матрицы, то X^X2-•обратимая квадратная матрица, обратной к которой служит Если Y1, Y2- матрицы, эквивалентные (гл. II, § 6, п° 10) соответственно "матрицам X1, X2 (или квадратные матрицы, подобные (гл. II, § 6, п° И) квадратным матрицам X1, X2), то Y1 ® Y2 есть матрица, эквивалентная X1 ® X2 (соответственно квадратная матрица, подобная X1 ® X2).
Пусть (ai, *.) — второй базис в Ei (г = 1, 2); если Pi — матрица 'перехода от базиса (ait J1.) к базису (^ii і.) (гл. II, § 6, п° 9), то матрица перехода от базиса в E1 ® E2, образованного элемен-
Ct11B Cti2B ... CtinB
0>2\В 0-22^ * • •
Ри-4 Рі2^4 ...
Р21A 022^4 . . . P2qA
X1 ® (X2+Y2)— X1 ® X1+X1 OY1, "I (X1 + Y1) ® X2 = X1 ® X2 + F1 ® X2, j (CiX1) ® X2 = X1 ® (ctX2) = a (X1 ® Xi), (X1 ® X2) (Y1 ® Y2) = (X1Y1) ® (X2Y2).
