Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
9) Пусть s, а, Ь, с, a', b', с'—семь различных точек проективной плоскости над телом К, содержащим не менее трех элементов, причем s, а, Ъ, с и s, a', b', с' — проективные реперы, а прямые Dsa, Dsb, Dic проходят соответственно через я', Ъ', с'. Показать, что точки пересечения г, jо, q прямых Dah и Da,ь,, Dbc и Dh,(.„ Dca и Dc,а, лежат ніі одной прямой. [«Теорема Дезарга»; метод, аналогичный методу упражнения 8.]
*10) Пусть .E = P(F) и ?’ — P (F')-проективные пространства одинаковой конечной размерности п > 2 соответственно над телами Л ц К' и и — биективное отображение E на E', преобразующее любые три точки, лежащие на одной прямой, в три точки, лежащие на одной прямой. Показать, что сущестиуют изоморфизм <т тела К на К' и биективное полулинейное (относительно о) отображение и пространства 1 на V такие, что и есть отображение, порождаемое отображением < при факторизации. (Использовать упражнение 7 Приложения II.] Если V = V и К коммутативно, то для того, чтобы и было проективным отображением, необходимо и достаточно, чтобы для каждой четверки (я, Ъ, с, d) различных точек пространства P(F), лежащих
11) Пусть F — векторное пространство конечной размерности п над телом К, (<ч)кі<п—базис этого пространства, К' — подтело тела К и V — л-мерное векторное пространство над К, порожденное элементами е;. Дать пример инъективного отображения V' в V, преобразующего любые три точки, лежащие на одной прямой, в три точки, лежащие на одной прямой, но не обязательно преобразующего две параллельные прямые в множества, содержащиеся в двух параллельных прямых. [Погрузить V в канонически ассоциированное с ним проективное пространство E и рассмотреть проективное отображение и последнего на себя такое, что прообраз относительно и бесконечно удаленной гиперплоскости отличен от нее и не содержит ни одной точки из Vі; можно было бы, например, взять бесконечное К и конечное К’.] *12) Пусть E = P(F) — проективная плоскость над телом К и и — биективное отображение ? на себя, получающееся путем факторизации из некоторого биективного отображения и пространства 1 на себя, полулинейного относительно автоморфизма о тела К.
а) Показать равносильность следующих четырех свойств: а) каково бы ни было х € Е, х, и (ж) и и-(х) лежат на одной прямой; Р) каждая прямая ва E содержит точку, инвариантную относительно и\ у) через
на одной прямой, выполнялось равенство
ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
каждую точку из E проходит прямая, инвариантная относительно и: ft) какова бы ни была прямая D на Е, прямые D, и (D) и U2(D) имеют общую точку. [Доказать сначала равносильность а) и \); выьеств отсюда по двойственности (упражнение 5) равносильность [5) п 6): наконец, показать, что у) влечет [5), и вывести отсюда по двойственности, что Р) влечет у)’]
б) Пусть и обладает свойствами, сформулированными в а). Показать, что если на E имеется прямая D, содержащая лишь одну точку а. инвариантную относительно и, то и получается путем факторизации из некоторого сдвига v пространства V (§ 6, упражнение 7). [Показать, что каждая прямая, инвариантная относительно и, проходці через а; рассматривая прямую, пе проходящую через а, показать, чю существует прямая Diu проходящая через а и содержащая по краііней мере две точки, инвариантные относительно и\ заключить, что все точки прямой D0 необходимо инвариантны относительно и.}
в) Пусть и обладает свойствами, сформулированными в а), и на L не сущесівует прямой, которая содержала бы только одну точку, инвариантную относительно и. Показать, что если на E имеется прямая D, содержащая лишь две точки, инвариантные относительно и, то и получается путем факторизации из некоторого растяжения v пространства V (Sj 6, упражнение 7). [Показать, что если а и b — те две точки прямой D, которые инвариантны относительно и, то каждая прямая, инвариантная относительно и, проходит через а или Ь; заметить далее, что существуют по крайней мере две другие точки с, d, отличные от а и 6, инвариантные относительно и, и. следовательно, что прямая Dea проходитчерез а или Ь; в заключение доказать, что все точки прямой Dt.,, инвариантны относительно и.\
г) Пусть и обладает свойствами, сформулированными в а), и кая; дая прямая на E содержит по крайней мере три различные точки, инвариантные относительно и; тогда в E существует проективный репер S (упражнение 3), каждая точка которого инвариантна относительно и; заключить отсюда, что в V существует базис (єі)[<і<3 такой, что и получается путем факторизации из полулинейного отображения v пространства V на себя, для которого V(Ci)=Ci (I ^ і 3). Множе ством точек из Е, инвариантных относительно и, является тогда проективная плоскость P (K0), где V0 — векторное пространство над телом if инвариантов относительно а, порожденное элементами et, <°2, е3.
д) Пусть теперь и удовлетворяет условиям пунктов а) и г) и ни U-ни и2 не есть тождественное отображение. Доказать существовали»* у ? К такого, что Y0 = Y и
(Ia-D0=Y(I0-S) И>
для каждого ЦК. [Воспользоваться условием а) пункта а) и суще ствованием длн которого S0=AS-] Показать, что у— -
