Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
м м
д2
^м л*2 xi
"-. "</
действующим на подпространстве симметрических функций. Спектр Нм подробно
изучался в [11.20] и состоит из ветвей
9 1 I 9 9 1 I 9 | Рм 23 - 2
Р\ + • • • + РЯг Pi РМ -2 "I 2~ 12 ' * ¦ ¦
2 *2 ' ' Z* '
Pm, Pmk Рп
- -emi + ... +-^--"""*> "1 + ... . . . ; Д} - гм
Таким образом, мы видим, что два вывода спектра квантового гамильтониана
нелинейного уравнения Шрёдингера приводят к одинаковым результатам. Из
общих соображений следует, что оба подхода должны давать одинаковый
результат в главном порядке по Й, но полное квантование в разных
канонических переменных не обязано совпадать полностью. В любом случае
разобранный пример показывает, что квантование в переменных действие -
угол позволяет найти простым и непосредственным образом спектр
гамильтониана. Это побуждает применить описанные процедуры и к тем
случаям, когда точное решение квантовой задачи неизвестно. Рассмотрим в
качестве примера уравнение sine-Gordon.
378
11. Гамильтонова интерпретация
Переопределяя подходящим образом переменные действие - угол, гамильтониан
и импульс можно записать в виде
оо А В
Р = (j Яр (р) dp + ? ра + ? Рь\
- оо а = 1 b - 1
оо А В
н = $ л/Р2 + 1 Р (р) dp + ? л/ра + м2 +^]л/рь+ М2(аь);
- оо а Ь
p{p)dp = P(k)dk; />=-[(& + V^2 + 1 ), Ра = ^ (-^ - 16Ла) ;
_ if.*. Л-L 1бУ М--\ М(а) = - sin а.
/у V | рь I2 / у Y
Величина р(р) сопряжена переменным типа фазы, поэтому спектр
соответствующего квантового оператора состоит из целых чисел (11.13).
Спектр величин р" и рь заполняет всю вещественную ось. Наконец, величина
а сопряжена переменной р, которая принимает значения на интервале 0 (3
sc: 32я/у, по-
этому спектр а состоит из значений ап - уп/\Г> в интервале
О <а <¦?.
В результате спектр Й соответствует системе частиц с массами m = 1, М =
8/у и Мп = 16у-1 X sin (ун/16). Этот результат безусловно верен лишь в
главном порядке по h (или, как отмечалось ранее, по отношению к у)- В
частности, представляется, что частицы с массами т = 1 и М\ =
16y_Isin(y/16) в действительности тождественны. Это аналогично
соответствующему результату для нелинейного уравнения Шрёдингера.
Таким образом, мы видим, что классические решения уравнения sine-Gordon
не дают полного представления о богатом спектре частиц в соответствующей
квантовой задаче. Метод обратной задачи рассеяния совместно с его
гамильтоновой интерпретацией позволяет преодолеть ограничения,
свойственные теории возмущений. Применение последней для уравнения sine-
Gordon позволяет описать лишь один сорт взаимодействующих частиц,
а.именно частиц с массой 1. На описанном пути было впервые получено, что
локализованным решениям классических уравнений теории поля соответствуют
частицы в квантовом случае [11.21,11.22]. Солитонный подход для описания
спектра масс в настоящее время получает все большую популярность.
Отметим, что спектр уравнения sine-Gordon был получен в [11.23] иным
способом. Обзор соответствующего направления квантовой теории поля увел
бы нас далеко от основной темы настоящей книги, которая посвящена методу
обратной задачи рассеяния. Поэтому в заключение мы просто отошлем
читателя к многочисленным оригинальным работам [11.22 - 11.26] и обзорам
[11.27-11.29].
11.3. Приложения к задаче квантования
379
ЛИТЕРАТУРА
11.1. Захаров В. Е., Фаддеев Л. Д. - Функц. анализ и его приложения 5:4,
18 (1971).
11.2. Захаров В. Е. - ЖЭТФ 65, 219 (1973).
11.3. Новиков С. П. - Функц. анализ и его приложения 8:3, 54 (1974),
11.4. Манаков С. В. - Функц. анализ и его приложения 10:4, 93 (1976).
11.5. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.:
Наука, 1974.
11.6. Goldstein Н., Classical Mechanics (Addison-Wesley, London, 1950).
11.7. Gardner С. S. - J. Math. Phys. 12, 1548 (1971).
11.8. TodaM. - Phys. Rep. 18C, 1 (1974).
11.9. Gardner C. S., Greene J. М., Kruskal M. D., Miura R. M. -
Phys. Rev.
Lett. 19, 1905 (1967).
11.10. Захаров В. E , Манаков С. В, -ТМФ 19, 332 (1974).
11.11. Фаддеев Л. Д., Тахтаджян Л. А. - ТМФ 21, 160 (1974).
11.12. Манаков С. В. - Автореф. дне. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат.
наук, ИТФ АН СССР им. Л. Д. Ландау.
11.13. McLaughlin D. W. - J. Math. Phys. 16, 96 (1975).
11.14. Захаров В. Е" Шабат А. Б,-ЖЭТФ 61, 118 (1971).
11.15. Ablowitz М., Каир D., Newell A., Segur Н. - Phys. Rev.
Lett. 31, 125
(1973).
11.16. Тахтаджян Л. А.-ЖЭТФ 66, 476 (1974).
11.17. Flashka Н. - Prog. Theor. Phys. 51, 703 (1974).
11.18. Манаков С. В.- ЖЭТФ 66, 543 (1974).
11.19. Манаков С. В. - ТМФ 28, 172 (1976).
11.20. Березин Ф. А., Похилл Г. П., Финкельберг В. М. - Вестник
МГУ 1, 21
(1964).
11.21. Фаддеев Л. Д., Тахтаджян Л. А. - УМН 29, 249 (1974).
11.22. Корепин В. Е., Фаддеев Л. Д. - ТМФ 25, 147 (1975).
11.23. Dashen R., Hasslacher В., Neveu А. - Phys. Rev. D 10,
1449 (1974).
11.24. Dashen R., Hasslacher B., Neveu A. - Phys. Rev. D 11, 3424 (1975).
11.25. Goldstone J., Jackiw R. - Phys. Rev. D 11, 1486 (1975).
11.26. Gervais J., Sakita R. - Phys. Rev. D12, 1038 (1975).
