Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
(3.85) для модуля гамма-функции комплексного аргумента, находим
,2яаЛ-1/2р-|(х + 1Г/2) W= (1 +e-2ira^-l/2e-iX (9.45)
V= (I + e•г7Г") _1/2 e ~'(x + */2), w-
где x (a) = a - a In | a | - Im In Г (1/2 - ia). Величина x ~*0 при
условиях а-*-0и|а|-*°°и, как показано в [451], допускает равномерную по о
оценку: |х(<*) I <0,095 л/2.
Некоторое представление о точности асимптотических результатов
(9.45) можно получить, сравнивая их с точными в случаях, когда
последние известны. Так, в работе [451] проводится сопоставление с точным
решением для профиля Эпштейна (см. п. 3.4). Приближенные решения (9.45)
достаточно хорошо совпадают с точными (3.84), (3.92), если b\0 ^ 1-
Коэффициенты отражения и прозрачности по энергии равны
\-V |2 = [1 + ехр(2ла)]-1, | W\2 = [1 + ехр(- 2ла)]-1. (9.46)
В квантовой механике этот результат называют приближением Кембла.
Заметим, что \V(a)\2 = IB^-a)!2. В случае надбарьерного распространения
(а > 0) с ростом а коэффициент | К|2 становится экспоненциально малым, а
| В712 стремится к единице. В пределе получается геометро-акус-тический
результат. При отражении от барьера (а < 0) в пределе | а | -*• °°
получается тот же результат, что и при отражении от единственной точки
поворота. Если значение f таково, что a = 0 (две точки поворота сливаются
с вершиной барьера), то | V\2 = | W \ 2 = 1/2, т.е. половина энергии
проходит, а половина отражается. При этом в точке zm луч, соответствующий
падающей волне, становится горизонтальным и дает начало лучам отраженной
и прошедшей волн. Первые поворачивают и уходят в сторону z = + °°, а в
торые - в сторону z - - 00.
При отражении от барьера лучи существуют в полупространствах z > z2 hz <
z\. Связь лучей, соответствующих падающей и прошедшей волнам,
расссматривалась Марфи [451]. Исследуя отражение ограниченного звукового
пучка (см. §.13), Марфи получил следующий результат (см. рис. 9.1, б):
для достаточного толстого слоя отраженный луч ОАВ выг-
185
лядит так же, как и при одной точке поворота (включая потерю фазы 7г/2),
но его амплитуда, естественно, не равна амплитуде падающего луча;
''скачок" луча из А в С происходит без потери фазы, но с уменьшением
амплитуды и горизонтальным сдвигом, зависящим от длины волны.
В рамках геометрической акустики могут существовать только падающий и
отраженный лучи. Подбарьерное просачивание звука представляет собой
дифракционный эффект, исчезающий в пределе к0 -* °°. Лучи при z < Zi
являются примером дифракционных лучей, о которых несколько подробнее речь
пойдет в § 14. К интерпретации лучей прошедшей волны можно подойти также
[ 130] с позиций комплексной геометрической акустики [149], где лучи
рассматриваются как кривые в комплексном пространстве.
9.4. Усиление звука в неоднородном потоке. При падении плоской волны на
плавно-слоистую среду со стратифицированным течением коэффициент
отражения по модулю может превышать единицу. Рассмотрим этот эффект
сначала в модельном случае, допускающем точное решение задачи. Пусть
скорость звука и плотность во всей среде постоянны, а скорость течения
меняется с глубиной линейно: v0 = (az, 0, 0), а > 0. Предполагается, что
при z = + °° задана падающая волна с гармонической зависимостью ехр[/(?г
- со?)]> ? = (-?> 0, 0) от горизонтальных координат и времени. Величина
13(z) = 1 - ?v0/w = 1 - z/zc, где zc = - ы/?д - горизонт, на котором
скорость следа волны ск\% равна скорости течения. Последняя при к > %
больше скорости звука. Вертикальная компонента волнового вектора
обращается в нуль в точкахz12 =zcO *?/&) (рис. 9.2).
Вертикальная зависимость акустического давления Ф(г) удовлетворяет
уравнению (1.41), которое в данном случае имеет вид
Э2Ф/Эг2 + [?V'c'2 (z - zc)2 - ?2 - 2 (z - zc}~2 ]Ф = 0,
Ф = (z - zc)~' Ф(г).
(9.47)
Общее решение этого уравнения, как отмечалось в п. 3.7, выражается
Рис. 9 2 К задаче об отражении звука от среды с линейным профилем
скорости течения: а - вертикальная зависимость величины к/3, z J 2 -
точки поворота, zc - горизонт резонансного взаимодействия; б - система
лучей, соответствующих падающей, отраженной и прошедшей волнам
186
через функции Уиттекера Wlt_3n (17), которые можно выразить также [240,
гл. 13] через функции параболического цилиндра:
Ф{2) = А1(Ш{а,у) + Аг<Ш{а, у), y = einlAq(z -zc),
q = (2?д/с)1/2, а = ?2/<72,
W(a,y) = 2iay1'2 Wia/ 2>_3/4 (у2/2) =
= yDv+l (у) + D"(y), v = - 3/2 + ia. (9.49)
В том, что функции y~l W{a, ±у) удовлетворяют уравнению (9.47), легко
убедиться непосредственно, приняв во внимание соотношения (9.32) и
(9.33). Величина а, как будет видно из дальнейшего, характеризует
прозрачность ''потенциального барьера" z1 < z <z2 для звуковой волны.
Вдали от горизонта z = zc (при \у \ > \ v |) звуковое поле (9.48),
согласно (9.38), представляет собой суперпозицию волн, распространяющихся
в сторону положительных и отрицательных z:
Ф(г) = {(Ai +ie-naA2)yv+2b+
+ (2ir)1l2(v + 2)r-l(-p)Al(-y)-1-pb)[l+0(y~i)], z<zc, (9.50)
Ф(г) = {{Ai - ienaA2)yv+2b+
