Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
45]. В формулах (9.35), (9.36) интегрирование ведется по этой кривой
между комплексными точками поворота fi = fj- Будем считать 7УД, < 1. (При
УУД, ^ 1 функция JV2(f) может вовсе не иметь нулей в комплексной
плоскости.) Тогда точки поворота близки к fm, и для них легко получить
явную формулу
*1.2 * fm^'^rfc))"]1'2;
ясно, что | ?2 - ? 11 L. Из формулы (9.36) следует, что значение а
намного меньше k0L, но может быть велико по сравнению с единицей.
Согласно (9.2), равномерной асимптотикой вертикальной зависимости
звукового поля при наличии двух точек поворота является функция
/(*) = [^2(П/(тг2(0-тг§)]-1/4И1^_о,5+га(тге-,я/4(2/:са)1/2 +
+ ^2^-o,5 + ,-a(r?e3"'74(2A:ca)1/2)]. (9.37)
Можно показать, что /(f) отличается от точного решения лишь множителем 1
+ О((k0L )-1). Замена функций параболического цилиндра в (9.37) их
степенными разложениями или асимптотическими представлениями (см. [240,
гл. 19] и [462]) дает различные локальные асимптотики. В частности, когда
а < Он | а | >1, асимптотика (9.37) переходит в две асимптотики вида
(9.24), имеющие общую область применимости между точками поворота f i и f
2 •
Рассмотрим подробнее переход (9.37) в решения (8.11), полученные в
приближении ВКБ- Для этого необходимо знать представления функций (9.33)
при больших значениях т?. Известна асимптотика
e-"2/4Hv[l + 0(и~2)], \ufv\>\,
Dv(u) =
e~uil4uv[l + 0(и~2)]-- у/2п Г"1 (-i>)e"* /4 * tnvu~i~v[l + 0(и~2)];
(9.38)
наилучшее приближение может быть достигнуто, если первую формулу
использовать при argw S (-л/2, л/2), а вторую-с верхним знаком при argw G
(л/2, л1 и с нижним знаком при argw S (-л, -л/2) [195, § 5].
Когда | и ] > 1, значительно более широкую область применимости имеют так
называемые разложения Дарвина (см. [240, гл. 19], [195]). Выпишем главные
члены разложения Дарвина для одной из функций параболического цилиндра,
фигурирующей в (9.37), для случая | т)/т)0 I > 1:
^-1/2+,-а(^37Г'/4(^оа)1/2)'
Д(т?2-т?о) 1/4 ехр /о
По По \ По По / I
В=(2к0а) (-а)'"/2 ехр[г(л/8-а/2) +ла/4], (9.39)
arg (ре3"'74 ) е (- л/2, л/2), i/2+ta (т?е3я-,/4 (2к0аУ12)~
183
2
~s ?/(n* -ng)_1/4x
Xexp
?-a = {2к0а)~1>4 (-a)fa/2 ехр[-/(Зтг/8 + a) - Зтга/4],
(9.40)
E2 =у/2тт(2к0а) 1/4 (-a) '"/2 exp[z'(zr/8+ a/2) - 7га/4][Г(1/2 - za)]'1,
arg (17 e 3"'/4 ) G (- 7T, - it 12) U (я/2, я)].
В сущности, разложения Дарвина представляют собой решения эталонного
уравнения (9.32) в приближении ВКБ, нормированные так, что при |т? | они
переходят в (9.38). Пусть к0/а > 1. Вычисляя е(т?) по формуле (8.10), где
N2 (17) = а2 (т?2 - т?о) и используя неравенства (8.12), после простых
выкладок находим область применимости формул (9.39), (9.40) для
вещественных rj:
При больших положительных значениях а формулы (9.39), (9.40), как и
следовало ожидать, пригодны при любых вещественных т?.
Если подставить в (9.37) главные члены разложений Дарвина для функций
параболического цилиндра и учесть (9.34), то (9.37) перейдет в обычную
ВКБ-асимптотику решения волнового уравнения. Поэтому неравенства (9.41),
(9.42) определяют область применимости приближения ВКБ в задаче с двумя
точками поворота. Физический смысл этих условий прост: когда точки
поворота близки (|а| 1), как при отражении от барьера,
так и при надбарьерном распространении должна быть исключена окрестность
вершины барьера размером порядка (L/k0)1^2; когда точки поворота далеки,
ограничения возникают только в первом случае. Приближение ВКБ неприменимо
тогда в узких окрестностях горизонтов f12. Пользуясь (9.34), можно
выразить условие (9.41) и (9.42) через значения фазового интеграла. При
этом они принимают однаковую и весьма простую форму:
Перейдем к вычислению коэффициента отражения плоской волны от
потенциального барьера. Пусть волна падает из области f = +°°. За
барьером, при f -*• -00 должна быть только прошедшая волна; согласно
(9.34), т? -*¦ -> -вместе с f. Из (9.38) мы видим, что в (9.37) член,
пропорциональный А\, дает при т? -*• -00 волны, распространяющиеся в
обоих направлениях, а член, пропорциональный А2, только волну с фазовой
зависимостью exp(zfc0a2T?2/2), бегущую в сторону f = -следовательно, А\ =
0. По формулам (9.34), (9.37), (9.39) и (9.40) получаем при этом вдали
184
|тН>(?0л) 1/2> если | а 1,
| т? ±rio | > (к0а)~1/2\ а |-1/б, если а<0, |а|>1.
(9.41)
(9.42)
S
(9.43)
от вершины барьера:
АО =
A2N~42a)Bexp(-ik0 fNd$),
?i
A2N~1!2 (f) [?¦, exp (ik0 f Nd?) + ^2
+ E2 exp (-ik0 j Nd$)], $2
r<fi, (9.44a)
f>f2. (9.446)
Выражение (9.446) представляет собой суперпозицию падающей и отраженной
волны, а (9.44а) - прошедшую волну. Величины V = EijE2 и W = = В!Е2
уместно назвахь коэффициентами отражения и прозрачности. Амплитуду и фазу
отраженной и прошедшей волн вдали от слоя (fb f2) можно найти, умножив
комплексную амплитуду падающей волны на V и W и учтя соответственный
набег фаз, даваемый формулами геометрической акустики. Подставляй в
выражение для Кий' значения ВиЕi2m (9.39), (9.40) и пользуясь формулой
