Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
поворота. Пусть волна падает сверху, точка поворота находится при f = 0 и
N2 < 0 при f < 0. Вдали от горизонта f = 0 поле описывается формулами
(9.29). Будем считать, что j у | -*"> при ?->-<". (Если N достаточно
быстро стремится к нулю при f -*¦ - <", то | р (- °°) j будет конеч-180
N 1/2[Ciexp(jfco^(0)+c2exp(-jfc0^(?))]> N2>0, (9.29а)
ЛГ1'2[С3ехр(*о1*(Г)1) + С4ехр(-*о1*(Ш1, N2 <0. (9.296)
Сз - Сх + /С*2, С4 - 0,5 + С*2 )•
(9.30)
ной величиной. В этом случае на бесконечности расположена как бы вторая
точка поворота, и ситуация близка к рассматриваемой ниже задаче об
отражении от ''потенциального барьера"). Тогда из условия ограниченности
поля следует, что С3 = 0. По формуле (9.30) получаем Ct = ~iC4,C2 =С4. В
(9.29а) слагаемое с амплитудой С\ представляет собой отраженную, а с
амплитудой С2 - падающую волну. Для отношения этих слагаемых, имеющего
смысл коэффициента отражения, получаем
Г
V = (Ci/C2)exp{2ik0^)) = exp(2ik0 JN d$ - iirl2). (9.31)
о
Мы видим, что | V | = 1, т.е. волна полностью отражается от точки
поворота. Интегральный член в экспоненте в (9.31) представляет собой
геометрический набег фазы при распространении волны от уровня f до 0 и
обратно. Слагаемое - /я/2 дает потерю фазы в я/2 в точке поворота, не
предсказываемую лучевым приближением.
9.3. Отражение от ''потенциального барьера''. Если показатель
преломления п (z) имеет минимум п = пт в некоторой точке zm, то в
неподвижной среде для наклонно падающих волн с горизонтальной компонентой
волнового вектора | > к0пт эффективный показатель преломления будет
обращаться в нуль в двух точках гХЛ'- z\ < z2 (рис. 9.1). В области
z! < z < z 2 имеем N2 < 0, и волны являются неоднородными. Этот слой
служит как бы барьером на пути распространения звука из полупространства
z < z i в полупространство z > г 2 и обратно. По аналогии с квантовой
механикой мы будем говорить в этом случае об отражении от
''потенциального барьера". Когда % < к0пт, волиа не имеет точек поворота.
Однако при значениях ?, близких к к0пт, приближение ВКБ неприменимо в
окрестности вершины барьера z - zm, и происходит заметное отражение
звука, называемое ''надбарьерным". Исследованию этих вопросов посвящен
ряд работ (см., например [64, 148, 204, 263, 409, 422], [169, § 23 и 50],
[260, гл. 3]). Аналогичные эффекты имеют место и в движущейся среде, но
форма и высота ''потенциального барьера" определяется здесь наряду с и
(г) профилем скорости течения v0(z). В этом разделе зависи-
Рис. 9.1. К отражению от потенциального барьера в неподвижной среде: а -
вертикальная зависимость показателя преломления; б - лучевая картина при
наличии двух горизонтов поворота
181
мость п и v0 от координаты г в окрестности точки zm мы будем считать
аналитической и предполагать, что |3(z) > 0.
Когда две точки поворота не близки, высокочастотную асимптотику звукового
поля можно получить по формулам п. 9.2. Они, однако, теряют применимость
при | z i - z 21 0. В этом случае нужно воспользоваться
функцией сравнения, имеющей два нуля. Простейшим эталонным уравнением
требуемого вида будет
d^W/dri2 + к20а2(г\2 0. (9.32)
С аналогичным уравнением мы встречались в п. 3.2 (см. (3.34) при|3з = 0).
Линейно независимыми решениями (9.32) являются функции параболического
цилиндра
W* Я-о,5 + ;а(±т?е-/я/4(2М)1/2), а = -кааг\Ц2, (9.33)
описанные и протабулированные в работах [240, гл. 19], [140, 195, 250].
Иногда их называют функциями Вебера. Для определенности примем а > 0.
(Если бы нас интересовал случай, когда N2 > 0 при z{ < z < z2 и N2 < 0
вне этой области, т.е. когда iV2(f) имеет максимум, следовало бы
воспользоваться тем же уравнением (9.32), но положить а = ±г'|д|.)
В рассматриваемом случае замена переменных 17(f) (см. (9.4)) принимает
вид
/ а(т? -Vo)42dri =
V о
aVo
j.^r,_h(JL + vZ7T)i
т?о Vo \По Vo /.
Г
(9.34)
Мы обозначили fli2 = f(zj,2)" следовательно, jV(f t >2) = 0. Выбор нижних
пределов интегрирования в (9.34) обеспечивает совпадение одного из нулей
функции сравнения М(п(?)) с нулем 7V(f). Совпадение двух других нулей
(r?(fi)) = -т?о) можно обеспечить за счет выбора значения т?0. Для этого
определим т?0 из уравнения
+ Vo 171
fN($№ = / a(v2 ~Vo)tl2dv = - evl (9.35)
?, -Bo ^
Параметр а согласно (9.33) и (9.35) равен
I ? 2 I z% ,_-x
a = - k0 fNd$ =-------------/V?2 -kWfdz. (9.36)
л Г, Я zi
Легко проверить, что замена переменных (9.34) при условии (9.36) приводит
к невязке m (f), ограниченной при всех f.
При отражении от барьера, когда точки f1>2 вещественны, N=i\N\ при f! < ?
< f2 ит?о>0 согласно (9.35), а < 0. Напротив, при ''надбарьер-ном"
распространении т?о < 0, а > 0. В этом случае минимальное значение 7V2(f)
на вещественной оси W2(fm) = положительно. Но структура линий уровня
аналитической функции в окрестности седловой точки fm, где (N2)' = 0,
такова, что в комплексной плоскости f через fm проходит 182
кривая, на которой N2 принимает вещественные значения, меньшие [232, §
