Динамическая теория кристаллических решеток - Борн М.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае, если функции
у>п 9\ (А ып -= Еп)
представляют собой нормированные зависящие от времени решения уравнения Шредингера
могут быть выражены через функции у)п следующим образом :
Как известно, коэффициенты ап являются функциями времени, удовлетворяющими уравнениям
где <л | Н' | п‘> — матричный элемент возмущения Н', образованный с помощью <р* и срп,. Для простоты поясним вначале метод Вайскопфа и Вигнера на примере вычисления времени жизни состояния щ при наличии возмущения Н’. Представляя волновую функцию этого состояния в виде (46.6), имеем начальные условия
Н0У>п = ifi4iWn ’
то решения возмущенного волнового уравнения
(Я° + Н')Ф= ih-^Ф
ф = 2 Уп
(46.6)
П
i д = ? < п \ Н'! п' > ап’ ехр {i (шп - шп,) 7}, (46.7)
» п'
а0 = 1, ап = 0 (л ф 0) при t = 0,
(46.8)
§ 46. Влияние ангармонического потенциала на дисперсию
397
т. е. мы знаем, что при t = 0 система находится в состоянии щ. Следуя Вайскопфу и Вигнеру, попробуем решить уравнения (46.7), полагая
a0 = e~rt, (46.9)
где 1/2 Г — время убывания вероятности в е раз по сравнению с ее значением при t = 0, или время жизни. Кроме того, в уравнениях для пф 0 сохраним в правой части только член, содержащий а0 (возмущение первого порядка). Таким образом, уравнения для л ф 0 принимают вид
? А^-= <njtt'|0>ехр{— П+Ца>п — <u°)f} (пф0). (46.10)
Имея в виду начальные условия (46.8). проинтегрируем (46.10) по t от t = 0, что дает
^ -- 1°> (пфГ))- <«•")
Предстоит еще рассмотреть уравнение (46.7) для п — 0. После подстановки (46.9) и (46.11) это уравнение сводится к следующему :
Г = ехр.[г' I < i#' 10> |z. (46.12)
А2 -р I (шЛ' — о;0) — Г 1 \ 1 1/1 >
Очевидно, что полученное равенство может выполняться лишь в том случае, если выражение в правой части является постоянной, не зависящей от t. Это справедливо лишь при обстоятельствах, на которых мы сейчас остановимся.
Решение Вайскопфа—Вигнера предназначено для тех случаев, когда состояния п' образуют практически непрерывный энергетический спектр. В таких случаях можно расположить состояния п' в соответствии с частотой перехода
(46.13)
и определить функцию от и следующим образом:
УоП-ir Km л ы JV: ( л'' //' '• 0 > 2, (46.14)
ш
где символ 2 означает, что суммирование производится по состоя-
ниям п', для которых частоты перехода заключены в интервале от а до а + Л ш. Индекс при у обозначает начальное состояние, по отно-
398
Глава 7. Оптические эффекты
шению к которому определена частота перехода1). С помощью этой функции можно, очевидно, переписать уравнение (46.12) в виде
Обычно считают значение интеграла в правой части (46.15) равным
Однако эта формула, приводимая без каких-либо ограничений, далеко не является правильной. Прежде всего у рассматриваемого интеграла, вообще говоря, имеется мнимая часть ; обычно этой частью пренебрегают, так как для задач того типа, к которым применяется эта формула (например, затухание), гораздо более существенна вещественная часть. Далее, вещественная часть, приведенная в (46.16), справедлива только для вещественных значений Г и даже при этом условии —¦ только в ограниченном интервале значений параметра t. Этот интервал тем шире, чем медленнее изменяется функция у0(ш) вблизи ш = 0 -; чтобы решение а0 — ехр [—.Г/] было справедливо для большей части своего «времени жизни», функция у0(ш) должна быть постоянной на протяжении интервала частот, сравнимого с Г. Пока мы примем, что (46.16) справедливо; в конце настоящего параграфа мы выведем эту формулу и рассмотрим различные ее ограничения.
Из (46.16) следует
Эта формула будет полезна д^я последующего рассмотрения. Согласно (46.16), выражение (46.15) сводится к равенству
которое, с одной стороны, показывает, что (46.9) является подходящим решением, и, с другой стороны, определяет величину постоянной затухания Г. Поскольку | а012 = ехр [—2 П] представляет собой вероятность нахождения системы в состоянии О в момент времени t, то среднее время жизни этого состояния равно
II-
[ 1 — ехр [ГЧ -f / (со — с) t] \ -|(ш -с)-Г
]уо(ш)^ш = яУо(с)- (46.17)
Г = Уо (0),
(46.18)
j' е-2rttdt
о
(46.19)
2 Г '
о
J) Функция такого типа может быть определена для любого состояния, если только состояния п' образуют непрерывный энергетический спектр.
§ 46. Влияние ангармонического потенциала на дисперсию 399
Как уже указывалось, электрическое взаимодействие (46.3) и ангармонический потенциал (46.5) будут рассматриваться совместно, как возмущение. Волновые функции невозмущенной системы представляют собой произведения волновых функций простых гармонических осцилляторов ; аргументами этих функций являются вещественные нормальные координаты, в качестве которых мы используем вещественные нормальные координаты второго рода (см. § 38). Таким образом, стационарное состояние системы в отсутствие возмущения характеризуется квантовыми числами
